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内容简介

　　全书分二篇，分别是高等数学、线性代数，各篇按大纲设置章节，每章的编排如下：

　　1．考点与要求设置本部分的目的是使考生明白考试内容和考试要求，从而在复习时有明确的目标和重点。

　　2．内容精讲本部分对考试大纲所要求的知识点进行全面阐述，并对考试重点、难点以及常考知识点进行深度剖析。

　　3．例题分析本部分对历年考题所涉及的题型进行归纳分类，总结各种题型的解题方法，注重对所学知识的应用，以便能够开阔考生的解题思路，使所学知识融会贯通，并能建议考生在使用本书时不要就题论题，而是要多动脑，通过对题目的练习、比较、思考，总结并发现题目设置和解答的规律性，真正掌握应试解题的金钥匙，从而迅速提高知识水平和应试能力，取得理想分数。

　　4．习题分阶只有适量的练习才能巩固所学的知识，数学复习离不开做题。为了使考生更好地巩固所学知识，提高实际解题能力，本书作者精心优化设计了一定数量的练习题，供考生练习，以便使考生在熟练掌握基本知识的基础上，达到轻松解答真题的水平。同时，本书对精选的练习题，进行了难度分阶，从基础概念，到综合应用，层层递进，实现练习、巩固、提高三维一体。

作者简介

　　李永乐，

　　清华大学应用数学系教授，北京高教学会数学研究会副理事长。全国著名的考研数学线性代数辅导专家，多次参加考研数学大纲修订和全国性数学考试命题工作。

　　王式安，

　　1987-2001年间担任全国研究生入学考试数学命题组组长，教育部考研数学命题组资深专家。原北京理工大学研究生院院长、应用数学系系主任、教授，享受国务院特殊津贴。王老师是2004年中央电视台采访的考研辅导名师！凭着王老师多年参加考研数学命题工作的经验，使他对考研数学的命题思路和命题方向了如指掌。

　　季文铎，

　　全国研究生入学考试数学试卷命题组组长，北京交通大学教授（享受国家津贴）。季文铎教授自1989年以来至今一直致力研究生入学考试数学科目的命题工作，常年担任该命题组组长、阅卷组组长，对硕士研究生入学考试命题有着精准的把握及深刻的洞察；长期承担大学生数学竞赛、数学建模竞赛及大学基础数学的教学和理论研究工作。

内页插图

目录

第一篇　高等数学

第一章　函数极限连续

考点与要求

1函数

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、求分段函数的复合函数

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数

三、求反函数的表达式

四、关于函数有界（无界）的讨论

2极限

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

三、计算极限的一些有关方法

例题分析

一、求函数的极限

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限

三、含有｜x｜，e1x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限

四、无穷小的比较

五、数列的极限

六、极限运算定理的正确运用

3函数的连续与间断

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、讨论函数的连续与间断

二、在连续条件下求参数

三、连续函数的零点问题

第二章　一元函数微分学

考点与要求

1导数与微分，导数的计算

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、按定义求一点处的导数

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数

三、绝对值函数的导数

四、由极限式表示的函数的可导性

五、导数与微分、增量的关系

六、求导数的计算题

2导数的应用

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式与方法

例题分析

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论

二、渐近线

三、曲率与曲率圆

四、最大值、最小值问题

3中值定理、不等式与零点问题

内容精讲

一、重要定理

二、重要方法

例题分析

一、不等式的证明

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点

五、“双中值”问题

六、零点的个数问题

七、证明存在某ξ满足某不等式

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的极限关系

第三章　一元函数积分学

考点与要求

1不定积分与定积分的概念、性质、理论

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、分段函数的不定积分与定积分

二、定积分与原函数的存在性

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分

2不定积分与定积分的计算

内容精讲

一、基本积分公式

二、基本积分方法

例题分析

一、简单有理分式的积分

二、三角函数的有理分式的积分

三、简单无理式的积分

四、两种不同类型的函数相乘的积分

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分

七、含参变量带绝对值号的定积分

八、积分计算杂例

3反常积分及其计算

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性

二、关于奇、偶函数的反常积分

4定积分的应用

内容精讲

一、基本方法

二、重要几何公式与物理应用

例题分析

一、几何应用

二、物理应用

5定积分的证明题

内容精讲

例题分析

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等

二、由积分定义的函数求极限

三、积分不等式的证明

四、零点问题

第四章　多元函数微积分学

考点与要求

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分

内容精讲

一、多元函数

二、二元函数的极限与连续

三、二元函数的偏导数与全微分

例题分析

一、讨论二重极限

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性

三、讨论二元函数的可微性

2多元函数的微分法

内容精讲

一、复合函数的偏导数与全微分

二、隐函数的偏导数与全微分

例题分析

一、求复合函数的偏导数与全微分

二、求隐函数的偏导数与全微分

3极值与最值

内容精讲

一、无条件极值

二、条件极值

例题分析

一、无条件极值问题

二、条件极值（最值）问题

三、多元函数的最大(小)值问题

4二重积分

内容精讲

一、二重积分的定义及几何意义

二、二重积分的性质

三、二重积分的计算

例题分析

一、计算二重积分

二、累次积分交换积分次序及计算

三、与二重积分有关的综合题

四、与二重积分有关的积分不等式问题

第五章　常微分方程

考点与要求

1常微分方程

内容精讲

一、微分方程的基本概念

二、常见的几类一阶方程及解法

三、可降阶的高阶微分方程

四、高阶线性方程

例题分析

一、微分方程求解

二、微分方程的综合题

三、微分方程的应用

第二篇　线性代数

第一章　行列式

考点与要求

内容精讲

例题分析

一、数字型行列式的计算

二、抽象型行列式的计算

三、行列式|A|是否为零的判定

四、关于代数余子式求和

第二章　矩阵

考点与要求

内容精讲

1矩阵的概念及运算

一、矩阵的概念

二、矩阵的运算

三、矩阵的运算规则

四、特殊矩阵

2可逆矩阵

一、可逆矩阵的概念

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件

三、逆矩阵的运算性质

四、求逆矩阵的方法

3初等变换、初等矩阵

一、定义

二、初等矩阵与初等变换的性质

4矩阵的秩

一、矩阵秩的概念

二、矩阵秩的公式

5分块矩阵

一、分块矩阵的概念

二、分块矩阵的运算

例题分析

一、矩阵的概念及运算

二、特殊方阵的幂

三、伴随矩阵的相关问题

四、可逆矩阵的相关问题

五、初等变换、初等矩阵

六、矩阵秩的计算

第三章　向量

考点与要求

内容精讲

1n维向量的概念与运算

2线性表出、线性相关

3极大线性无关组、秩

4Schmidt正交化、正交矩阵

例题分析

一、线性相关的判别

二、向量的线性表示

三、线性相关与线性无关的证明

四、秩与极大线性无关组

五、正交化、正交矩阵

第四章　线性方程组

考点与要求

内容精讲

1克拉默法则

2齐次线性方程组

3非齐次线性方程组

例题分析

一、线性方程组的基本概念题

二、线性方程组的求解

三、基础解系

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A

五、线性方程组系数列向量与解向量的关系

六、两个方程组的公共解

七、同解方程组

八、线性方程组的有关杂题

第五章　特征值、特征向量、相似矩阵

考点与要求

内容精讲

1特征值、特征向量

一、定义

二、特征值的性质

三、求特征值、特征向量的方法

2相似矩阵、矩阵的相似对角化

一、定义

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件

3实对称矩阵的相似对角化

一、定义

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤

例题分析

一、特征值，特征向量的求法

二、两个矩阵有相同的特征值的证明

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法

四、矩阵是否相似于对角阵

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数

六、由特征值、特征向量反求A

七、矩阵相似及相似标准形

八、相似对角阵的应用

第六章　二次型

考点与要求

内容精讲

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵

一、二次型概念

二、二次型的矩阵表示

2化二次型为标准形、规范形合同二次型

一、定义

3正定二次型、正定矩阵

一、定义

例题分析

一、二次型的矩阵表示

二、化二次型为标准形、规范形

三、合同矩阵、合同二次型

四、正定性的判别

五、正定二次型的证明

六、综合题

前言/序言

　　为了帮助广大考生能够在较短的时间内，准确理解和熟练掌握考试大纲知识点的内容，全面提高解题能力和应试水平，本书编写团队依据15年的命题与阅卷经验，并结合10多年的考研辅导和研究精华，精心编写了本书，真正起到帮助同学们提高综合分析和综合解题的能力。

　　一、本书的编排结构

　　全书分二篇，分别是高等数学、线性代数，各篇按大纲设置章节，每章的编排如下：

　　1．考点与要求设置本部分的目的是使考生明白考试内容和考试要求，从而在复习时有明确的目标和重点。

　　2．内容精讲本部分对考试大纲所要求的知识点进行全面阐述，并对考试重点、难点以及常考知识点进行深度剖析。

　　3．例题分析本部分对历年考题所涉及的题型进行归纳分类，总结各种题型的解题方法，注重对所学知识的应用，以便能够开阔考生的解题思路，使所学知识融会贯通，并能灵活地解决问题。针对以往考生在解题过程中普遍存在的问题及常犯的错误，给出相应的注意事项，对有难度的例题给出解题思路的分析，以便加强考生对基本概念、公式和定理等内容的理解和正确运用。

　　4．习题分阶只有适量的练习才能巩固所学的知识，数学复习离不开做题。为了使考生更好地巩固所学知识，提高实际解题能力，本书作者精心优化设计了一定数量的练习题，供考生练习，以便使考生在熟练掌握基本知识的基础上，达到轻松解答真题的水平。同时，本书对精选的练习题，进行了难度分阶，从基础概念，到综合应用，层层递进，实现练习、巩固、提高三维一体。

　　　　二、本书的主要特色

　　1．权威打造命题专家和阅卷专家联袂打造，站在命题专家的角度命题，站在阅卷专家的角度解题，为考生提供最权威的复习指导。

　　2．综合提升与其他同类图书相比，本书加强了考查知识点交叉出题的综合性，真正起到帮助考生提高综合分析和综合解题的能力。

　　3．分析透彻本书既从宏观上把握考研对知识的要求，又从微观层面对重要知识点进行深入细致的剖析，让考生思路清晰、顺畅。

　　4．一题多解对于常考热点题型，均给出巧妙、新颖、简便的几种解法，拓展考生思维，锻炼考生知识应用的灵活性。这些解法均来自各位专家多年教学实践总结和长期命题阅卷经验。

　　5．贴心服务本书赠送《分阶习题同步训练》，以便于考生迅速检验学习效果，巩固所学内容。

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