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内容简介

　　《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》是编者在多年的教学经验与教学研究的基础上编写而成的。教材中适当加强了微积分的基本理论，同时兼顾微积分的应用，使之有助于培养学生分析问题和解决问题的能力，书中还给出了习题答案或提示，以方便教师教学使用及学生自学。
　　教材分为上、下两册，《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》是下册，内容包括多元函数及其微分学、含参积分及广义含参积分、重积分、曲线积分与曲面积分、常数项级数、函数项级数、Fourier级数。
　　《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》可作为大学理工科非数学专业微积分课程的教材。

内页插图

目录

前言/序言

　　微积分是现代大学生（包括理工科学生以及部分文科学生）大学入学后的第一门课程，也是大学数学教育的一门重要的基础课程，其重要性已为大家所认可，但学生对这门课仍有恐惧感。对学生来说如何学好这门课，对教师来说如何教好这门课，都是广大师生关注的事情。众多微积分教材的出版，都是为了帮助学生更好地理解、学习这门课程，也为了教师更容易地教授这门课，本书的编写就是这么一次尝试。
　　一、微积分的发展史
　　以英国科学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）在17世纪下半叶独立研究和完成的，现在被称为微积分基本定理的牛顿一莱布尼茨公式为标志，微积分的创立和发展已经历了三百多年的时间。但是微积分的思想可以追溯到公元前3世纪古希腊的阿基米德（Archimedes）。他在研究一些关于面积、体积的几何问题时，所用的方法就隐含着近代积分学的思想。而微分学的基础——极限理论也早在公元前3世纪左右我国的庄周所著《庄子》一书的“天下篇”中就有记载，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；在魏晋时期我国伟大的数学家刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，都是朴素的，也是很典型的极限概念。利用割圆术，刘徽求出了圆周率π=3.1416……的结果。
　　牛顿和莱布尼茨的伟大工作是把微分学的中心问题——切线问题和积分学的中心问题——求积问题联系起来，用这种划时代的联系所创立的微积分方法和手段，使得一些原本被认为是很难的天文学问题、物理学问题得到解决，展现了微积分的威力，推动了当时科学的发展，
　　尽管牛顿和莱布尼茨的理论在现在看来是正确的，但他们当时的工作是不完善的，尤其缺失数学分析的严密性。在一些基本概念上，例如“无穷”和“无穷小量”这些概念，他们的叙述十分含糊，“无穷小量”有时是以零的形式，有时又以非零而是有限的小量出现在牛顿的著作中，同样，在莱布尼茨的著作中也有类似的混淆。这些缺陷，导致了越来越多的悖论和谬论的出现，引发了微积分的危机。
　　在随后的几百年中，许多数学家为微积分理论做出了奠基性的工作，其中有：
　　捷克的数学家和哲学家波尔查诺（Bolzano）（1781一1848年），著有《无穷的悖论》，提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。
　　法国数学家柯西（Cauchy）（1789-1857年），著有《分析教程》、《无穷小分析教程概论》和《微积分在几何上的应用》，“柯西极限存在准则”给微积分奠定了严密的基础，创立了极限理论。
　　德国数学家维尔斯特拉斯（Weierstrass）（1815-1897年），引进“ε-8”、“ε-N”语言，在数学上“严格”定义了“极限”和“连续”，逻辑地构造了实数理论，系统建立了数学分析的基础。
　　在微积分理论的发展之路上，还有一些数学家必须提到，他们是黎曼（Riemann）、欧拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）、阿贝尔（Abel）、戴德金（Dedekind）、康托尔（Cantor），等等，他们的名字将在我们的教材中一次又一次地被提到。
　　我们在教材中呈现的是经过许多数学家不断完善、发展的微积分体系。
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