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內容簡介

　　《iCourse·教材：綫性代數》是與中國大學MOOC上北京理1_=大學的“綫性代數MOOC”配套的教材，是作者根據非數學專業綫性代數課程的基本要求編著的。內容包括綫性方程組、矩陣、嚮量空間、行列式、方陣的特徵值與特徵嚮量、二次型與正定矩陣。
　　《iCourse·教材：綫性代數》可以作為非數學專業綫性代數課程的教材或教學參考書，也可供社會學習者學習“綫性代數MOOC”時參考使用。

內頁插圖

目錄

第一章 綫性方程組
1．1 綫性方程與綫性方程組
1．2 綫性方程組的初等變換
1．3 解綫性方程組的消元法
1．4 矩陣的定義
1．5 矩陣的初等行變換
1．6 階梯形矩陣與簡化階梯形矩陣
1．7 關於綫性方程組的基本定理
1．8 齊次綫性方程組及其應用
習題一

第二章 矩陣
2．1 矩陣的綫性運算
2．2 矩陣的乘法運算及其性質
2．3 方陣
2．4 矩陣的轉置
2．5 初等矩陣及其應用
2．6 矩陣的秩
2．7 可逆矩陣
2．8 分塊矩陣
2．9 幾類常見的特殊矩陣
習題二

第三章 嚮量空間
3．1 嚮量與嚮量空間
3．2 嚮量組的綫性關係
3．3 嚮量組的秩
3．4 嚮量空間的基與維數
3．5 綫性方程組的解的嚮量形式
3．6 實嚮量的內積與正交
習題三

第四章 行列式
4．1 2階行列式
4．2 n階行列式的定義
4．3 n階行列式的性質
4．4 行列式的按行或者按列展開
4．5 行列式在代數方麵的應用
4．6 行列式在幾何方麵的應用
習題四

第五章 方陣的特徵值與特徵嚮量
5．1 特徵值與特徵嚮量的定義與求法
5．2 特徵值與特徵嚮量的性質
5．3 方陣的相似
5．4 方陣可以相似對角化的條件
5．5 將方陣相似對角化的方法
5．6 3類特殊矩陣的相似對角化問題
5．7 實對稱矩陣的相似對角化
習題五

第六章 二次型與正定矩陣
6．1 二次型的定義以及二次型的標準形
6．2 化二次型為標準形的配方法
6．3 方陣的閤同
6．4 化二次型為標準形的初等變換法
6．5 化實二次型為標準形的正交替換法
6．6 二次型的規範形
6．7 實二次型的定性
6．8 正定矩陣
習題六

索引
參考文獻

前言/序言

　　本書講授的綫性代數是麵嚮非數學專業學生的一門公共基礎課，它不僅為我們提供學好後繼課程的數學知識，而且為我們提供在各個學科領域中通用的分析問題與解決問題的方法。
　　本書是我們為瞭適應MOOC需要編著的，由我們製作的綫性代數MOOC已在中國大學MOOC上綫。我們按照教育部高等學校教學指導委員會以及全國碩士研究生入學考試大綱對綫性代數課程的要求，基於MOOC的特點，本著“由淺人深、由易到難”的原則，對綫性代數的課程內容做瞭係統整閤，使得課程結構更加緊湊，課程的前後順序更加閤理，使得這門課更加容易教與學。全書分為6章。
　　第一章講綫性方程組。我們由綫性方程組的化簡，引齣綫性方程組的初等變換（互換兩個方程的位置，某個方程乘非零常數，某個方程的倍數加到另外一個方程上）；將方程組等價到增廣矩陣、方程組的初等變換等價到增廣矩陣的初等行變換，定義一般矩陣的初等行變換；用矩陣的階梯形的非零行數定義矩陣的秩；給齣綫性方程組有解的充分必要條件是綫性方程組的係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，綫性方程組有解並且解唯一的充分必要條件是綫性方程組的係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩且等於方程組的未知數的個數；通過方程組的增廣矩陣的簡化階梯形給齣求有解綫性方程組的解的方法。
　　第二章講矩陣代數。我們定義瞭矩陣的4種運算：加法，數乘，乘法，轉置。在定義矩陣乘法的時候，我們特彆注重矩陣的行與列的整體性，將矩陣按行或者按列錶示，這不僅講清瞭矩陣乘法的本質，也為後麵講矩陣的分塊、嚮量以及嚮量組做瞭鋪墊和準備。進一步地，矩陣的按行、按列錶示也為證明矩陣運算的性質提供瞭極大的方便。
　　第三章講嚮量空間，這是綫性代數的核心內容。在這一章，判斷嚮量組的綫性相關與綫性無關，以及嚮量可否由嚮量組綫性錶示的工具是綫性方程組，求嚮量組的極大無關組與秩的工具是矩陣以及矩陣的初等行變換。矩陣與嚮量組是可以互相轉換的。一個矩陣可以決定3個嚮量空間：零空間，列空間，行空間。由矩陣的零空間可以給齣綫性方程組的解的嚮量形式，這樣就完善瞭綫性方程組的解的理論。在n元實嚮量空間上定義瞭兩個嚮量的內積，嚮量的長度，以及兩個嚮量的正交，給齣瞭綫性無關嚮量組的施密特正交化方法，為講行列式在幾何方麵的應用與實對稱矩陣的相似對角化準備好瞭工具。
　　第四章講行列式。我們采用遞歸的方法定義行列式，先給齣2階行列式的定義與性質，然後利用行列式的第1行的展開，遞歸定義當n>2時的n階行列式。這樣定義既容易理解，也方便低階時直接計算，並且它還是行列式按行展開的一種特殊情況。關於行列式性質的證明，隻要熟悉數學歸納法，並不是很難理解。而且弄懂一個性質的證明即可，方法都是一樣的。作為行列式在代數方麵的應用，我們證明瞭矩陣的秩等於矩陣的非零子式的最大階數，通過伴隨矩陣證明瞭求解nxn綫性方程組的剋拉默法則。作為行列式在幾何方麵的應用，我們給齣瞭3階行列式的幾何意義：實數集上的3階行列式的絕對值等於以行列式的行嚮量組或者列嚮量組為鄰邊構成的平行六麵體的體積。
　　第五章講方陣的特徵值與特徵嚮量。這一章分為兩部分，第1部分討論方陣可以相似對角化的條件，第2部分證明實對稱矩陣可以用正交矩陣化為對角矩陣。第2部分為下一章介紹用正交替換化實二次型為標準形提供瞭理論基礎。
　　第六章講二次型與正定矩陣。這一章的前半部分介紹瞭化二次型為標準形的3種方法（配方法，初等變換法，正交替換法），前兩種方法適用於任意二次型，第3種方法隻能用於實二次型；後半部分討論實二次型的定性與正定矩陣的充分必要條件。
　　綫性代數的內容是自封閉的。在本書中，除瞭代數學基本定理（超齣瞭範圍）以及少數幾個淺顯易懂的結論（避免過於冗長）以外，其他結論都給齣瞭證明。此外，我們對綫性代數的實際背景與曆史人物作瞭適當介紹。所以，這是一本內容豐富而又全麵的綫性代數教材，它既適用於課堂講授，也適用於自學。如果將本書與我們製作的MOOC視頻一起使用，采用“翻轉課堂”教學法，那麼將會極大地調動學生的學習積極性，收到非常好的效果。
　　本書可以作為30到60學時之間的綫性代數課程的教材或者教學參考書。如果學時數比較少，那麼定理1.3、定理1.5、定理2.9、定理5.5、定理5.6、定理5.9、定理6.5、定理6.9的證明，不相容方程組的最小二乘法以及行列式的幾何應用都可以作為選修內容，靈活處理。
　　本書的齣版得到北京理工大學“十三五”教材規劃的資助；我們的許多同事對本書的寫作提供瞭慷慨的幫助；我們的學生在使用本書初稿時，指齣瞭若乾錯誤；高等教育齣版社的張長虹編輯對我們的寫作提供瞭許多指導；本書的責任編輯李茜為本書的齣版做瞭大量工作。在此一並錶示衷心感謝！
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