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孫智宏 著

圖書標籤:

• 數學
• 數列
• 數字
• 高中數學
• 競賽數學
• 學習
• 教育
• 考研數學
• 數學基礎
• 算術

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030511157

版次：1

商品編碼：12034899

包裝：平裝

外文名稱：Numbers and Sequences

開本：16開

齣版時間：2016-12-01

用紙：膠版紙

頁數：235

字數：210000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數和數列》共分21講，由淺人深，係統介紹瞭數、數列和初等數論的知識及數論學傢的故事，討論瞭中學生需要掌握的復數、數學歸納法、等差數列、等比數列、組閤數與二項式定理，參加數學競賽需要掌握的取整函數與抽屜原理、數的整除與一次不定方程、算術基本定理及其應用、中國剩餘定理、Fermat小定理與Wilson定理、Euler函數與Euler定理等內容，係統地介紹瞭Fibonacci數、Bernoulli數、Fermat數、Mersenne數和Lucas數列等經典的數和數列，並講述二次互反律、兩平方和定理和四平方和定理等初等數論經典內容，最後一講“數論史話”描述瞭從Fermat到Kummer的數論發展史和數論學傢的故事。
　　《數和數列》是初等數論的入門讀物，適閤高中生、大學生、數學愛好者、數學教師與數論工作者閱讀。

作者簡介

　　孫智宏，男，1965年齣生，淮陰師範學院數學科學學院教授，曾獲全國師範院校曾憲梓教師奬（1999）、全國優秀教師（2007）等榮譽稱號，主要研究領域為數論、圖論與組閤數學，在國際核心刊物（SCI）發錶論文58篇，2004年起擔任美國數學會（AMS）會員，2009年與2013年兩次獲國傢自然科學基金麵上項目資助。

內頁插圖

目錄

前言
第1講 數的擴張
1．1 數和數學的起源
1．2 復數與四元數
1．3 典型例題
習題

第2講 數學歸納法
2．1 第一數學歸納法
2．2 第二數學歸納法
2．3 聯立歸納法
習題

第3講 等差數列
3．1 階乘與求和記號
3．2 等差數列性質
3．3 典型例題
習題

第4講 等比數列
4．1 等比數列概念及性質
4．2 典型例題
習題

第5講 數的整除與一次不定方程
5．1 整除性質
5．2 輾轉相除法
5．3 一次不定方程
習題

第6講 素數
6．1 素數概念
6．2 素數無窮多的證明
6．3 素數判彆
6．4 素數難題
習題

第7講 算術基本定理及其應用
7．1 算術基本定理
7．2 最大公因子與最小公倍數
7．3 除數函數d（n）與因子和函數σ（n）
7．4 完全數
習題

第8講 取整函數與抽屜原理
8．1 取整函數性質
8．2 階乘中素數指數計算
8．3 抽屜原理
習題

第9講 同餘性質與同餘方程
9．1 同餘概念及性質
9．2 同餘方程
9．3 分數同餘
習題

第10講 中國剩餘定理
習題

第11講 組閤數與二項式定理
11．1 組閤數概念及性質
11．2 二項式定理
11．3 組閤恒等式
11．4 Lucas定理
習題

第12講 Fermat小定理與Wilson定理
12．1 Fermat小定理
12．2 Wilson定理
習題

第13講 Euler函數、Euler定理與素數原根
13．1 完全剩餘係與簡化剩餘係
13．2 Euler函數
13．3 Euler定理
13．4 素數的原根
習題

第14講 二次剩餘的Euler判彆條件
14．1 二次剩餘概念
14．2 Euler-判彆條件
習題

第15講 二次互反律
15．1 Legendre符號
15．2 二次互反律及其證明
15．3 Jacobi符號
習題

第16講 兩平方和定理
習題

第17講 四平方和定理
習題

第18講 Fibonacci數
18．1 Fibonacci數的恒等式與Lucas定理
18．2 Fibonacci數的同餘性質
18．3 Fibonacci數的應用
習題

第19講 Bernoulli數
19．1 Bernoulli數和Bernoulli多項式的基本性質
19．2 Bernoulli冪和公式
19．3 Bernoulli數的同餘式
19．4 Bernoulli數的其他經典結果
習題

第20講 Lucas數列、Fermat數與Mersenne數
20．1 Lucas數列的恒等式
20．2 Lucas數列的同餘性質、Fermat數與Mersenne數
習題

第21講 數論史話——從Fermat到Kummer
21．1 Fermat
21．2 Euler
21．3 Lagrange和二元二次型
21．4 Legendre
21．5 Gauss和四次互反律
21．6 Eisenstein和三次互反律
21．7 Dirichlet，Jacobi和有理互反律
21．8 Riemann和Riemann猜想
21．9 Lucas
21．10 Kummer和Fermat大定理
參考文獻
索引

前言/序言

　　數和數列的性質是數學的基礎內容，高考題、數學競賽題和數論問題都有各種類型和各種難度的整數或數列問題，本書是為中學生、大學生及數學愛好者寫的講解數和數列基礎知識及解題技巧的著作，也可作為初等數論的教科書或數論的入門著作，亦可用於高考指導和初等數學競賽輔導，本書從較低的起點開始，由淺入深，討論瞭中學生需要掌握的復數、數學歸納法、等差數列、等比數列、組閤數與二項式定理，參加數學競賽的學生需要掌握的取整函數與抽屜原理、數的整除與一次不定方程、算術基本定理及其應用、同餘性質與同餘方程、Fermat小定理與Wilson定理、Euler函數與Euler定理、Fibonacci數。前18講的其餘部分為初等數論經典內容，包括素數原根、中國剩餘定理、二次互反律、兩平方和定理、四平方和定理；在第19講和第20講中，作者用獨創的方式係統地介紹瞭Bernoulli數、Bernoulli多項式、Lucas數列、Fermat數和Mersenne數，其中包含瞭作者的一些研究成果。
　　本書特彆注意介紹有關定理的曆史背景與最新進展，收集瞭各種類型的相關例題和習題，有些例題和習題是作者所編，根據作者對數的感悟、研究成果和對數論史的瞭解，補充瞭許多其他書中見不到的命題、證明和習題，其中個彆習題難度較大，作者力圖使本書趣味可讀，富有特色，便於自學，包含經典內容、經典例子，采用Erdos所說的“天書”中的最短證明，既講解數學思想，又充分展示數學之美。為瞭激發讀者對數論的興趣和對數學的熱愛，最後一講“數論史話”介紹瞭從Fermat到Kummer的數論發展史和數論學傢的故事。
　　為瞭照顧讀者和便於教學之用，本書各有側重，不可能麵麵俱到，所論述的題材也沒有過分深入。書末附有17篇參考文獻，既是作者寫書時參考所用，又可供讀者深入學習參考。

好的，這裏為您構思瞭一份圖書簡介，其內容與您提到的《數和數列 [Numbers and Sequences]》主題無關，旨在詳細描述另一本假想書籍的內容。 --- 書籍名稱：古老的織錦：失落文明的符號與敘事 作者： 艾莉亞·文森特 (Aria Vincent) 頁數： 約 480 頁 齣版社： 黎明之光學術齣版社 --- 書籍簡介 在人類文明的宏大史詩中，總有那些被時間塵封、幾乎被遺忘的篇章。它們並非由宏偉的文字記錄構成，而是鎸刻在堅硬的岩石上、編織在古老的縴維中，或是描繪在蛻變的陶土之上。這些沉默的符號，是那些早已消逝的社會與他們的宇宙觀進行對話的唯一媒介。《古老的織錦：失落文明的符號與敘事》正是一部深入挖掘這些失落的“語言”的開創性著作。 本書的作者，著名的符號學傢與考古人類學傢艾莉亞·文森特博士，耗費瞭近二十年的時間，足跡遍布安第斯山脈的偏遠高地、湄索不達米亞的乾涸河床，以及撒哈拉以南的古代貿易路綫。她匯集瞭前所未有的跨學科研究，旨在解讀那些構成古代世界底層邏輯的非文本性信息係統。 超越文字的語境 傳統的曆史研究往往將重點置於已知的書寫係統，如楔形文字或古埃及聖書體。然而，文森特博士認為，在真正的“書寫”齣現之前，人類社會早已發展齣復雜的符號編碼體係來管理知識、規範儀式和構建社會秩序。本書的核心論點是：符號是文明的第一個內存條，其結構遠比單個詞匯更為穩定和持久。 《古老的織錦》的結構分為三個主要部分，層層遞進地剖析瞭這些沉默的敘事。 第一部分：結構與形態——符號的物理學 本部分聚焦於符號的物質載體及其在物理世界中的布局。文森特博士沒有將符號視為抽象的標記，而是考察它們如何與地形、建築材料和天文現象相互作用。 岩畫的定位語法： 深入分析北美原住民岩畫群中點、綫和幾何形狀的排列規則。研究錶明，這些排列並非隨意的裝飾，而是精確的“位置地圖”，指示瞭季節性的狩獵路徑、水源分布，甚至可能是對星空事件的預測。書中詳盡對比瞭來自猶他州峽榖地和澳大利亞阿納姆地岩畫的模式差異，揭示瞭不同地理環境如何塑造瞭具象符號的“句法”。 編織的記憶矩陣： 對秘魯前印加時期帕拉瑪（Parama）文明的彩色繩結（Quipu 的前身）進行瞭全新的解碼嘗試。這些繩結不僅用於計數，更被證明是一種基於色彩飽和度和結距的敘事結構。作者提齣瞭一種“三維語法”，認為信息是通過觸摸、視覺和生物反饋（繩結的張力）共同接收的。 陶器的幾何宣言： 考察瞭地中海青銅時代早期陶器上重復齣現的螺鏇、同心圓和鋸齒紋。本書通過流體力學和光學分析，論證瞭這些圖案如何模擬水流和風的運動，充當瞭早期關於自然力量的“科學聲明”。 第二部分：功能與領域——符號的社會功能 這一部分將研究從純粹的視覺分析轉嚮符號在社會生活中的實際應用，探討它們如何維護權力結構、分配資源和界定身份。 邊界的標記： 詳細考察瞭小亞細亞鐵器時代部落在牲畜皮帶、工具手柄上刻畫的微小標記。這些標記並非部落圖騰，而是類似於現代的“質量保證印章”和財産所有權聲明。作者首次提齣瞭“微觀所有權符號學”的概念，揭示瞭古代社會中對移動資産的復雜管理體係。 儀式的編碼： 書中用大量篇幅分析瞭西伯利亞薩滿教中使用的“靈魂路徑圖”。這些地圖並非描繪地理，而是繪製瞭死後靈魂在不同宇宙層次間流動的流程圖，其中的特定符號（如開口的眼睛、倒置的T形）是實現轉換的“操作指令”。 身份的消隱： 與通常的身份標識相反，本書探討瞭那些旨在“隱藏”身份的符號係統。例如，某些古老儀服上故意模糊麵部特徵的幾何設計，其目的是將個體融入集體無意識，從而實現權力的去人格化。 第三部分：時間與演化——符號的遷移與變異 最後一部分審視瞭這些符號係統在曆史長河中的生命力，以及它們如何在不同文化接觸和衝突中發生轉變。 符號的同化與誤讀： 案例研究集中在公元前一韆年中期絲綢之路上，波斯符號元素如何被印度河流域的裝飾藝術所吸收。文森特博士展示瞭當一種符號從其原始的“操作語境”中被剝離後，它如何迅速被新的意義所填充，有時甚至産生完全相反的解讀。 失靈的符號： 探討瞭當支撐符號的社會或環境結構崩潰時，符號本身如何失去效力。例如，某些特定於農耕雨季的符號，在環境劇變後，在後繼文化中演變成瞭純粹的裝飾性元素，失去瞭其作為“祈求”或“指示”的功能。 結語：閱讀沉默的遺産 《古老的織錦》挑戰瞭我們對“曆史”和“記錄”的傳統認知。它邀請讀者放下對字母文字的依賴，轉而學會一種更原始、更具觸感的閱讀方式。通過對這些失落符號的細緻描摹與嚴謹分析，本書不僅重構瞭我們對古代世界的理解，更深刻地揭示瞭人類心智在麵對未知和組織復雜性時，所展現齣的驚人創造力與普遍性模式。這是一部獻給所有對文明深層結構和人類思維的本質充滿好奇心的讀者的作品。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本書真是打開瞭我對數字和數列的全新視角！我一直以為數學隻是冷冰冰的公式和枯燥的計算，但《數和數列》卻用一種我從未想過的方式，將它們描繪得如此生動有趣。開篇就以一種非常巧妙的方式，將我們熟悉的數字，比如質數、斐波那契數列，賦予瞭生命和故事。我尤其喜歡作者在講解過程中穿插的各種曆史典故和數學傢的小趣聞，讓原本抽象的概念變得立體起來。讀到關於黃金分割的章節時，我簡直驚呆瞭，原來那些我們在自然界中看到的螺鏇、比例，甚至是藝術品中的和諧美感，都深深地植根於數學的邏輯之中。作者並沒有簡單地羅列定理和證明，而是通過大量的實例，引導讀者去發現規律，去體會數學的優雅與力量。就像是在玩一場尋寶遊戲，每一頁都充滿瞭驚喜和啓發，讓我忍不住想要一探究竟。即使是一些非常高深的數學概念，在作者的筆下也變得易於理解，仿佛在和我一位博學的老師進行一次深入的對話。這本書讓我重新燃起瞭對數學的興趣，也讓我對我們所處的世界有瞭更深刻的認識。

評分☆☆☆☆☆

說實話，在拿到《數和數列》之前，我對“數列”這個詞的印象停留在高中課本裏那些求和、找規律的練習題，總覺得有點程式化，缺乏吸引力。但這本書完全顛覆瞭我的認知。它沒有直接跳入公式，而是從更廣闊的視野齣發，探討瞭數列在現實世界中的種種體現。例如，在講解幾何級數時，作者用瞭一個非常生動的例子，關於財富的增長，以及疾病的傳播，讓我切身感受到瞭指數級增長的可怕與驚人。還有關於概率的探討，它不僅僅是關於拋硬幣的概率，更是關於生活中的各種不確定性，以及我們如何通過數學來理解和應對。這本書讓我意識到，數列並非獨立的數學分支，而是連接著物理、生物、經濟、計算機科學等各個領域的橋梁。作者的敘述方式非常注重邏輯性和條理性，但又不會讓人感到生硬，總能在關鍵處給齣畫龍點睛的比喻和類比。閱讀過程中，我常常會停下來思考，結閤自己所學的知識，發現書中內容與我過去經驗的關聯。這本書更像是一本啓濛讀物，為那些對數學應用感興趣但又覺得無從下手的人，提供瞭一個非常好的起點。

評分☆☆☆☆☆

第一次翻開《數和數列》，我最深的感受就是它對“美”的呈現。我一直覺得數學是邏輯的藝術，而這本書則將這種藝術感發揮到瞭極緻。作者在描述一些經典的數列時，比如素數分布的神秘感，或是分形數列的無限延伸，都用一種非常詩意的語言來錶達。我特彆喜歡關於“阿基米德螺鏇”的章節，作者將它與大自然中的貝殼、星係的形成聯係起來，讓我看到瞭數學在宇宙中的宏偉藍圖。書中還探討瞭一些關於“無限”的概念，這對於我來說一直是個難以捉摸的哲學難題，但作者通過數列的視角，用一種更加具象化的方式來解釋，比如澤諾的悖論，以及不同無窮的比較。這不僅僅是知識的傳授，更是一種思維的訓練，它挑戰瞭我固有的認知，促使我去思考更深層次的問題。這本書的排版也非常精美，圖文並茂，很多插圖都極具藝術感，讓閱讀過程成為一種視覺上的享受。它讓我明白，數學的美，不僅僅在於它的嚴謹性，更在於它能夠描繪齣如此奇妙而和諧的世界。

評分☆☆☆☆☆

《數和數列》這本書，讓我深刻體會到瞭數學的“探索性”和“創造性”。我一直以為數學就是解答問題，但這本書卻展示瞭數學傢們如何從無到有，創造齣新的概念和理論。作者在書中會涉及到一些數學史上的重要發現，比如早期文明是如何理解和使用數列的，以及一些劃時代的數學定理是如何被提齣的。我特彆被關於“哥德爾不完備定理”的討論所吸引，雖然我無法完全理解其證明過程，但作者通過非常形象的比喻，讓我窺探到瞭數學邏輯的邊界和可能性。這本書不僅僅是知識的堆砌，更是一種思維的啓發，它鼓勵讀者去質疑，去探索，去發現數學中尚未被解決的問題。讓我印象深刻的是，作者在講解某些數列的性質時，會引導讀者去猜測，去驗證，仿佛是在帶領我們共同進行一場科學研究。這種參與感，是我在其他很多技術類書籍中都未曾感受到的。它讓我意識到，數學的學習不僅僅是接受，更是主動的創造和發現，這是一種非常令人興奮的體驗。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我一直是個數學“小白”，對數字和公式總是敬而遠之。《數和數列》這本書，卻神奇地改變瞭我的看法。它並沒有上來就灌輸晦澀的理論，而是以一種非常接地氣的方式，從我們生活中司空見慣的現象入手。比如，作者探討瞭手機屏幕的像素是如何形成圖像的，或者說，我們日常使用的搜索引擎是如何通過某種數列算法來找到信息的。這些看似平常的科技，背後都隱藏著深奧的數學原理，而這本書就像一位耐心的嚮導，一步步地為我揭開瞭這些神秘的麵紗。我尤其欣賞作者在解釋復雜概念時，所采用的類比和故事。比如，在講到“遞歸”時，他用瞭一個經典的俄羅斯套娃的比喻，讓我瞬間就明白瞭那個抽象的概念。讀這本書，我沒有任何壓力，感覺就像在聽一位朋友聊天，分享他發現的有趣事物。它讓我覺得，數學並非高高在上，而是無處不在，並且非常實用。這本書成功地激發瞭我學習數學的興趣，讓我願意主動去瞭解更多。

評分☆☆☆☆☆

證明敘述簡潔。

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