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黄宣国 著

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• 数学思维
• 解题技巧
• 奥数入门
• 进阶训练
• 经典例题

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312039775

版次：1

商品编码：12019922

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-07-01

用纸：胶版纸

正文语种：中文

内容简介

　　《数学奥林匹克大集新编》将中学阶段的数学内容进行了较系统的归类和介绍。阅读《数学奥林匹克大集新编》可以开拓读者在不等式、方程与多项式、数论、组合数学、平面几何等方面的视野，提高对这些内容的认知和解决同类问题的能力。《数学奥林匹克大集新编》适合中学数学教师和学有所长的高中学生使用。

作者简介

黄宣国，1947年11月出生于浙江鄞县。1978年考入复旦大学数学研究所，师从苏步青先生、胡和生先生，学习微分几何。1981年获硕士学位，并留校任教。1986年获博士学位，1995年评为教授，1999年评为博士生导师，共发表微分几何学术论文约20篇。独立署名出版图书《空间解析几何》《空间解析几何与微分几何》《李群基础》《凸函数与琴生不等式》《数学奥林匹克大集1994》，与人合作出版图书《微分几何一百例》等。

从1990年至2003年，多次参加中学生数学冬令营（现称中国数学奥林匹克）和中国数学奥林匹克集训队的命题、阅卷和选拔工作，1994年担任中国数学奥林匹克代表队的领队，在此工作期间，受到中国科协和国家教委多次表彰。

目录

前言
第一部分 讲座精选
第1章 不等式
1．1 凸函数与基本不等式
1．2 少量变元的不等式
1．3 较复杂的不等式
1．4 最大值与最小值
第1章习题
第2章 方程与多项式
2．1 等式与方程
2．2 多项式
2．3 函数方程
第2章习题
第3章 数论
3．1 不定方程
3．2 Fermat小定理及其应用
3．3 质数的性质
第3章习题
第4章 组合数学
4．1 点与线段的染色问题
4．2 三角形与完全图
4．3 比赛与游戏
4．4 方格表与圆圈
4．5 整数元素集合的性质
4．6 子集族
第4章习题
第5章 平面几何
5．1 综合法
5．2 三角函数法
5．3 坐标向量法
第5章习题

第二部分 资料汇编
第6章 国家集训队与第35届国际数学竞赛
6．1 1994年中国数学奥林匹克题目及解答
6．2 1994年国家数学集训队测验题目及解答
6．3 1994年国家数学集训队选拔考试题目及解答
6．4 第35届国际数学奥林匹克竞赛试题及解答
6．5 第35届国际数学奥林匹克竞赛备选题题目及解答
第7章 1994年数学竞赛集锦
7．1 1994年保加利亚数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．2 1994年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．3 1994年英国数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．4 1994年韩国数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．5 1994年爱尔兰数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．6 1994年（第20届）俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．7 1994年（第43届）捷克（和斯洛伐克）数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．8 1994年越南数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．9 1994年加拿大数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．10 1994年北欧数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．11 1994年（第45届）波兰数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．12 1994年中国台北数学奥林匹克竞赛试题及解答
7．13 1994年中国香港代表队选拔赛试题及解答
7．14 1994年十国数学奥林匹克竞赛题汇
7．15 印度数学奥林匹克初等问题集
第8章 各国（地区）数学竞赛试题选编
8．1 1995年至2000年各国（地区）数学竞赛试题
8．2 2001年至2004年各国（地区）数学竞赛试题
8．3 2005年至2007年各国（地区）数学竞赛试题

《数海探源：当代数学前沿精粹》图书简介 一部面向未来、深度聚焦当代数学核心进展与应用前景的权威性著作 本书并非对既有奥林匹克竞赛内容的简单汇编或知识点的重复梳理，而是致力于搭建一座连接基础数学知识与尖端研究领域的桥梁。我们深知，数学的生命力在于其不断探索未知、解决现实世界复杂问题的能力。《数海探源：当代数学前沿精粹》正是基于这一理念，精心策划和撰写的一部旨在拓宽读者视野、激发创新思维的深度力作。 全书结构严谨，内容涵盖了当代数学中几大关键领域，力求在保持严谨性的同时，兼顾不同专业背景读者的理解需求。我们摒弃了传统竞赛题目的重复性训练模式，转而深入探讨支撑这些前沿领域的底层理论框架、核心概念的最新发展以及它们在信息技术、工程科学乃至基础物理学中的革命性应用。 第一部分：拓扑与几何的深刻交融——从黎曼到高维流形 本部分聚焦于现代几何学和拓扑学的深刻发展，这些领域构成了现代物理学（如广义相对论、弦理论）和复杂系统分析的数学基石。 1. 现代微分几何与规范场论的数学基础： 我们不再停留于欧几里得几何的范畴，而是深入解析纤维丛、联络理论以及曲率张量的精确定义。重点阐述了辛几何在经典力学和量子化过程中的核心作用，以及霍奇理论如何应用于理解代数簇的结构。书中对“庞加莱猜想”的证明历程进行了深入的数学剖析，而非仅仅叙述其结果，旨在让读者领悟到几何直觉如何通过严密的分析工具得以证实。 2. 代数拓扑的新进展： 探讨了同调理论（如奇异同调、群上同调）在分类拓扑空间时的强大能力。特别引入了“稳定同伦论”的概念，解释了如何处理在维度变化时保持不变的代数不变量。这部分内容为理解现代物理学中的拓扑绝缘体和拓扑量子计算提供了坚实的数学框架。 3. 低维拓扑与纽结理论的深入研究： 重点分析了乔恩斯多项式、韦尔夫定理在区分复杂纽结上的应用。我们展示了如何利用三维流形上的不变式来研究流体力学中的涡旋结构，揭示了纯粹的几何问题如何映射到物理动力学中。 第二部分：数论的跨界革命——算术几何与L函数 本书对数论的介绍，超越了初等数论的范畴，直指当前数学界最活跃、挑战最大的领域之一——算术几何。 1. 椭圆曲线与费马大定理的当代视野： 详细阐述了谷山-志村猜想（现为模定理）的核心思想，即证明了椭圆曲线与模函数之间的深刻联系。我们借助抽象代数工具，解析了如何利用伽罗瓦表示来研究有理点集，展示了这一理论如何成为解决丢番图方程的关键。 2. 局部-全局原理与阿代尔代数： 深入讲解了阿代尔（Adeles）和同调（Ideles）的概念，它们是统一处理实数域和有理数域上代数方程解的有力工具。通过对Hasse原理的精细分析，读者将理解为什么解决一个方程在“局部”有解，并不意味着在“全局”（有理数域上）有解，以及如何通过代数几何的手段克服这一障碍。 3. 解析数论的现代工具： 侧重于自守形式理论和L函数的构造。解释了黎曼Zeta函数的推广形式——Dirichlet L函数，及其与素数分布的内在联系。本部分内容力求揭示现代数论如何通过解析工具，对离散的整数世界进行宏观的、连续性的研究。 第三部分：逻辑、计算与可证性——理论计算机科学的数学基石 当代数学与信息科学的交叉日益紧密，本部分关注基础逻辑、模型论以及计算复杂性理论的最新突破。 1. 递归论与可计算性理论： 介绍了图灵机模型的精确构造，并深入探讨了停机问题的不可解性。着重分析了哥德尔不完备定理的现代解释，特别是在形式系统的一致性与完备性之间的内在张力。 2. 复杂性理论与P/NP问题： 对P、NP、NP-完全等核心概念进行了清晰界定。本书不仅讨论了该问题的意义，更侧重于阐述证明复杂性界限所依赖的数学工具，如交互式证明系统（IP/PCP定理），以及它们对密码学安全性的深远影响。 3. 范畴论与抽象代数的统一视角： 范畴论作为“数学的数学”，在本部分扮演了统一语言的角色。通过讲解函子、自然变换，我们展示了如何用统一的结构来描述集合论、拓扑学、代数以及编程语言之间的关系，为高阶的抽象思维提供坚实的结构基础。 第四部分：随机过程与高维数据分析 随着大数据时代的到来，随机过程和概率论在处理不确定性和复杂系统建模中的地位日益凸显。 1. 随机分析与伊藤积分： 本章详尽介绍了布朗运动的严格构造，以及伊藤微积分的建立。重点分析了随机微分方程（SDEs）在金融衍生品定价（如Black-Scholes模型）和化学反应速率建模中的应用，强调了其与经典微积分的根本区别。 2. 马尔可夫链与遍历理论： 探讨了具有复杂状态空间的马尔可夫链（如MCMC方法）的收敛性质。通过遍历定理，我们展示了如何利用随机采样来精确估计复杂函数在特定分布下的期望值，这是现代统计推断的基石。 3. 信息几何与最优传输： 这是一个新兴交叉领域。我们引入了费舍尔信息矩阵，将其视为统计流形上的度量。随后，详细介绍坎托罗维奇-孟日问题（Optimal Transport），解释了如何用几何方法衡量概率分布之间的“距离”，这一概念在机器学习中的表示学习具有革命性意义。 结语：通往原创研究的阶梯 《数海探源：当代数学前沿精粹》旨在提供一个坚实而广阔的知识平台。它要求读者具备扎实的微积分、线性代数和基础抽象代数背景。本书不提供解题技巧的捷径，而是提供理解数学家如何思考、如何构建新理论的路径。阅读本书，如同攀登一座知识的高峰，虽然过程充满挑战，但所见之景，必将是数学世界最壮丽的现代图景。它将是准备进入研究生阶段学习、或希望将数学应用于前沿科学研究的专业人士的必备参考书。

评分☆☆☆☆☆

这套书简直是给那些对数学有着狂热追求的同学们量身定做的！我刚拿到手就迫不及待地翻看了起来，里面的题目设计得太巧妙了，每一道都像是一个精心包装的礼物，拆开来总能发现令人惊喜的数学智慧。它们不仅仅是简单的计算或者公式套用，更多的是对数学思想的深度挖掘和巧妙运用。有时候看着一道题目，会觉得它好像是一个迷宫，需要你运用各种不同的工具和策略才能找到出路；但一旦你理清了思路，那种豁然开朗的感觉，真的太美妙了！而且，这套书的编排也很科学，从基础概念的巩固到进阶技巧的提升，循序渐进，让你在不知不觉中就能掌握很多过去觉得难以企及的数学知识。我尤其喜欢里面那些“点睛之笔”，常常是一些非常简洁却又蕴含深刻哲理的证明方法，让人惊叹于数学的优雅和力量。对于那些想要在数学领域有所突破，甚至准备参加奥林匹克竞赛的同学来说，这绝对是一笔宝贵的财富。它不光能提高你的解题能力，更能培养你严谨的逻辑思维和灵活的创新能力，让你真正爱上数学，并且在数学的世界里找到属于自己的乐趣和成就感。

评分☆☆☆☆☆

第一次接触《数学奥林匹克大集新编》的时候，就被它那股“硬核”的数学气息深深吸引了。这本书的书名就暗示了它的内容非同寻常，拿到手里翻阅后，果然名不虚传。里面的题目设计得非常精巧，很多题目都蕴含着深刻的数学思想，需要你运用多种数学工具和方法才能将其攻克。我印象最深刻的是其中一些几何题目，它们要求我们不仅要熟练掌握各种定理，更要具备空间想象能力和抽象思维能力，去构建和分析复杂的几何图形。对于那些想要在数学竞赛中脱颖而出，或者对数学有着特别热情和追求的同学来说，这本书简直就是量身定制的“武林秘籍”。它不仅能帮助你掌握大量的解题技巧，更能培养你独立思考、分析问题和解决问题的能力。阅读这本书的过程，就像是在进行一场智力上的“攀登”，虽然过程中会有困难和挑战，但每一次的成功登顶，都会带来巨大的成就感和自信心。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《数学奥林匹克大集新编》的瞬间，我就被它沉甸甸的分量和精美的封面设计所吸引。翻开第一页，扑面而来的是一种严谨而又充满挑战的气息。我一直觉得，真正的数学学习不应该是枯燥的公式堆砌，而应该是智力的探险和思维的舞蹈。这本书恰恰做到了这一点。它收录了大量高水平的数学竞赛题目，涵盖了数论、代数、几何、组合等多个重要领域，每一道题都经过精心筛选，不仅难度适中，而且题型丰富多样，能够全方位地锻炼读者的数学思维。我特别欣赏它在题目讲解方面的独到之处，不仅仅给出答案，更重要的是深入剖析解题思路、技巧和关键点，让你在理解题目本身的同时，还能学到解决同类问题的通用方法。这种“授人以渔”的学习方式，对于提升数学素养非常有帮助。我个人认为，对于那些在校期间数学成绩优秀，渴望挑战自我，进一步提升数学能力的同学来说，这本书无疑是他们的最佳伙伴。它能让你在模拟的竞赛环境中，充分发挥自己的潜能，发现自己的不足，并有针对性地进行改进。

评分☆☆☆☆☆

在我看来，《数学奥林匹克大集新编》不仅仅是一本习题集，更像是一部关于数学智慧的百科全书。它所包含的题目，很多都具有很强的启发性，能够引导读者从不同的角度去理解和解决问题。我尤其喜欢书中那些“奇思妙想”的解法，它们往往能颠覆你固有的思维模式，让你看到数学更广阔的可能性。有时候，一道题目可能会有多种解法，而书中往往会呈现其中最巧妙、最简洁的一种，这对于培养我们的数学美感和审美能力非常有帮助。此外，这本书在题目分类和难度梯度上也做得相当到位，从基础的入门题到极具挑战性的难题，层层递进，能够满足不同水平的读者的需求。我个人觉得，对于那些对数学有着浓厚兴趣，并且希望能够系统性地提升数学能力的同学来说，这本书绝对是不可多得的佳作。它能够帮助你在浩瀚的数学海洋中，找到清晰的前进方向，并且不断挑战自己的极限。

评分☆☆☆☆☆

这本书的到来，对于我这个数学爱好者来说，无疑是一场及时的“及时雨”。我一直觉得，真正有趣的数学题目，往往需要一种“跳出舒适区”的勇气去面对。而《数学奥林匹克大集新编》恰恰提供了这样一个绝佳的平台。它里面的题目，很多都充满了“意想不到”的转折和“别有用心”的设计，让你在解题的过程中，需要不断地审视自己的想法，调整策略。我尝试着做了一些题目，发现有些题目看似简单，但要真正写出严谨的证明，却需要花费不少心思。这反而激发了我的好奇心，让我想要去深入探究背后的数学原理。而且，这本书的排版和印刷质量都非常出色，阅读体验极佳，不会因为题目复杂而感到眼花缭乱。对于那些想要在数学方面打下坚实基础，同时又想体验“解难题”乐趣的同学们，我强烈推荐你们入手这本书。它不仅仅是提高解题技巧的工具，更是培养独立思考能力和解决复杂问题能力的催化剂。