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内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版88：椭圆与超椭圆曲线公钥密码理论与实现》论述了椭圆与超椭圆曲线公钥密码学的基本理论及实现，其中包括：椭圆曲线公钥密码体制介绍，椭圆和超椭圆曲线的基本理论，定义在有限域上椭圆和超椭圆曲线的有理点的计数，椭圆和超椭圆曲线上的离散对数，椭圆和超椭圆曲线离散对数的初等攻击方法、指标攻击方法、代数几何攻击方法及代数数论攻击方法，《现代数学基础丛书·典藏版88：椭圆与超椭圆曲线公钥密码理论与实现》的特点之一，内容涉及面广，在有限的篇幅内，包含了必要的预备知识和较完备的数学证明，尽可能形成一个完整的体系：特点之二，用较为系统和统一的方法总结了大部分有限域上椭圆和超椭圆曲线有理点的有效计数方法；特点之三，用系统的数学方法讲述了椭圆和超椭圆曲线离散对数攻击的主要有效方法；特点之四，我们总是从算法数论的角度进行论述，对每个重要的理论结果，总是尽可能给出其可编程的实际算法，《现代数学基础丛书·典藏版88：椭圆与超椭圆曲线公钥密码理论与实现》的部分较初等的内容曾多次在中国科学院研究生院信息安全重点实验室及广州大学和湖南大学作为研究生教材使用。
　　《现代数学基础丛书·典藏版88：椭圆与超椭圆曲线公钥密码理论与实现》可作为信息安全、数论及相关专业的研究人员、高等学校的教师和高年级学生的参考书，其部分内容也可做为信息安全、数论等专业的研究生的教材使用。

内页插图

目录

第一部分 椭圆曲线密码体制
第一章 椭圆曲线密码体制
1．1 有限域上的椭圆曲线
1．2 椭圆曲线公钥密码体制
1．3 基于双线性对的密码方案

第二部分 提升到整体域上的点数计算算法
第二章 复数域上的椭圆曲线
2．1 Weierstrass函数和椭圆曲线
2．2 椭圆曲线的同构
2．3 同种椭圆曲线
2．4 除子多项式
2．5 模多项式
第三章 一般域上的椭圆曲线
3．1 椭圆曲线的群结构
3．2 除予类群
3．3 同种映射
3．4 Tate模和Weil对
3．5 有限域上的椭圆曲线
3．6 p挠元点和自同态环
第四章 复乘理论与算法
4．1 椭圆曲线的复乘理论
4．2 利用复乘生成椭圆曲线
4．3 算法综述
第五章 椭圆曲线的SEA算法
5．1 算法的概述
5．2 等价模多项式
5．3 计算同种曲线
5．4 计算除子多项式的因子
5．5 Atkin算法
5．6 计算tmodlm
5．7 算法汇总

第三部分 提升到局部域上的点数计算算法
第六章 p-adic数
6．1 p-adic数的引入
6．2 赋值
6．3 完备化
6．4 Hensel引理
第七章 椭圆曲线的形式群
7．1 在无穷远点展开
7．2 形式群
第八章 局部域上的椭圆曲线
8．1 极小Weierstrass方程
8．2 约化映射及其性质
8．3 有限阶点
8．4 坐标赋值有限的点集
第九章 Satoh方法的理论基础
9．1 引论
9．2 多项式的因子的提升
9．3 典范提升的构造
9．4 应用到点数的计算
第十章 Satoh的算法及其实现
10．1 局部域及其卜-些算法的实现
10．2 Frobernius同态及典范提升
10．3 提升的算法
10．4 计算迹
第十一章 Mestre的AGM算法
11．1 典范提升的J不变量的计算
11．2 计算Frobenius映射的迹
11．3 范数的快速算法
11．4 改进的AGM算法
11．5 改进的Satoh算法
第十二章 Harley算法
12．1 广义牛顿算法
12．2 提升域多项式与Harley算法
第十三章 Kedlaya算法
13．1 deRham复形与上同调
13．2 上同调空问的基
13．3 Frobenius提升
13．4 算法综述
13．5 推广到Superelliptic曲线
第十四章 F2n上超椭圆曲线的Kedlaya算法
14．1 F2n上超椭圆曲线的上同调
14．2 算法综述

第四部分 椭圆曲线密码体制的攻击方法
第十五章 椭圆曲线离散对数的初等攻击
15．1 椭圆曲线公钥密码
15．2 小步一大步法
15．3 家袋鼠和野袋鼠
15．4 MOV约化
15．5 FR约化
15．6 SSSA约化
15．7 有限域上离散对数的计算
第十六章 超椭圆曲线离散对数的指标计算法
16．1 超椭圆曲线的Jacobian
16．2 虚2次代数函数域
16．3 小亏格超椭圆曲线离散对数的指标计算方法
16．4 大亏格超椭圆曲线离散对数的指标计算方法
第十七章 椭圆曲线离散对数的代数几何攻击方法
17．1 Weil下降与Weil攻击
17．2 特征2的GHS攻击
17．3 奇特征的GHS攻击
17．4 Weil限制与低次扩域上的椭圆曲线离散对数攻击
第十八章 离散对数的代数数论攻击方法
18．1 Brauer群和Galois上同调
18．2 Brauer群及有限域中的离散对数问题
18．3 不变量映射的局部计算
18．4 不变量映射的整体计算
18．5 数域筛法
18．6 函数域筛法
18．7 （超）椭圆曲线离散对数，Tate对和Brauer群

第五部分 椭圆曲线密码体制的实现
第十九章 椭圆曲线的倍点计算
19．1 基域和曲线的选择
19．2 椭圆曲线上点的表示和运算
19．3 椭圆曲线的倍点运算
19．4 Frobenius展开
参考文献
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

　　公钥密码是20世纪70年代中期提出的一类新型的密码，它特别适合在计算机网络环境下使用，具有信息加密、管理密钥和数字签名等功能，能保证信息的机密性、完整性和不可否认性。迄今为止，所提出的公钥密码的安全性均建立于某个数学难题的基础之上，这里所谓数学难题，是指求解这个数学问题目前还没有多项式时间的算法被发现，例如，大整数的因子分解、有限域或椭圆曲线离散对数等问题，在适当选取参数后，在现有理论和技术条件下，这些问题都难以解决，这就奠定了相应的公钥密码的安全性基础，而解决这些难题所取得的任何重大进展，都会对相应的公钥密码的使用产生巨大的影响。
　　目前影响大的三类公钥密码是RSA公钥密码、EIGamal公钥密码和椭圆曲线公钥密码，前者是在20世纪70年代中期提出的，其安全性依赖于大整数的因子分解的困难性，而后两者的安全性分别依赖于有限域和椭圆曲线离散对数的难度。椭圆曲线公钥密码是20世纪80年代中期提出来的，由于它具有一些其他公钥密码无法比拟的优势，因此，近年来对它的研究十分活跃，而相关的研究所获得的许多算法，大大丰富了算法数论和椭圆曲线密码的理论，本书的主要目的就是介绍这方面的新进展。
　　具有良好密码特性的椭圆曲线的产生和椭圆曲线离散对数的计算，是椭圆曲线密码理论研究的两个核心问题，而如何加快椭圆曲线的倍点运算，则是椭圆曲线密码实现中的主要问题。因此，本书的主要内容就是介绍这三方面的基本理论，及迄今为止所提出的主要算法的基本原理和实际算法实现。主要内容分布如下：本书分五大部分，第一部分是椭圆曲线密码体制介绍，我们的叙述方式利用了可证明安全性的理论框架；第二部分是利用到整体域的提升方法计算有限域上椭圆曲线的有理点的数目，主要包含复数域和一般域上椭圆曲线的一般理论以及复乘算法和SEA算法；第三部分是利用到局部域的提升方法计算有限域上椭圆曲线的有理点的数目，主要包含局部域上椭圆曲线的基本理论、形式群以及Satoh算法、AGM算法、Harley算法、Kedlaya算法等内容；第四部分介绍（超）椭圆曲线离散对数的攻击方法，主要有基本的初等攻击方法、指标计算攻击方法、代数几何攻击和代数数论攻击方法；第五部分介绍椭圆曲线的倍点计算，这是椭圆曲线密码实现中的主要问题。
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