微分几何中的度量结构 [Metric Structures in Differential Geometry] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Gerard Walschap 著

图书标签:

• 微分几何
• 度量空间
• 流形
• 黎曼几何
• 伪黎曼几何
• 拓扑
• 几何分析
• 张量分析
• 微分方程
• 数学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510086335

版次：1

商品编码：11647750

包装：平装

外文名称：Metric Structures in Differential Geometry

开本：24开

出版时间：2015-01-01

用纸：胶版纸

页数：226

正文语种：英文

内容简介

　　This text is an elementary introduction to differential geometry. Although it was written for a graduate-level audience, the only requisite is a solid back-ground in calculus, linear algebra, and basic point-set topology.
　　The first chapter covers the fundamentals of differentiable manifolds that are the bread and butter of differential geometry. All the usual topics are covered, culnunating in Stokes' theorem together with some applications. The stu dents' first contact with the subject can be overwhelming because of the wealth of abstract definitions involved, so examples have been stressed throughout. One concept, for instance, that students often find confusing is the definition of tangent vectors. They are first told that these are derivations on certain equiv-alence classes of functions, but later that the tangent space of Rl is "the same" as Rn. We have tried to keep these spaces separate and to carefully explain how a vector space E is canonically isomorphic to its tangent space at a point. This subtle distinction becomes essential when later discussing the vertical bundle of a given vector bundle.

内页插图

目录

Preface
Chapter 1.Differentiable Manifolds
1.Basic Definitions
2.Differentiable Maps
3.Tangent Vectors
4.The Derivative
5.The Inverse and Implicit Function Theorems
6.Submanifolds
7.Vector Fields
8.The Lie Bracket
9.Distributions and Frobenius Theorem
10.Multilinear Algebra and Tensors
11.Tensor Fields and Differential Forms
12.Integration on Chains
13.The Local Version of Stokes' Theorem
14.Orientation and the Global Version of Stokes' Theorem
15.Some Applications of Stokes' Theorem

Chapter 2.Fiber Bundles
1.Basic Definitions and Examples
2.Principal and Associated Bundles
3.The Tangent Bundle of Sn
4.Cross—Sections of Bundles
5.Pullback and Normal Bundles
6.Fibrations and the Homotopy Lifting／Covering Properties
7.Grassmannians and Universal Bundles

Chapter 3.Homotopy Groups and Bundles Over Spheres
1.Differentiable Approximations
2.Homotopy Groups
3.The Homotopy Sequence of a Fibration
4.Bundles Over Spheres
5.The Vector Bundles Over Low—Dimensional Spheres

Chapter 4.Connections and Curvature
1.Connections on Vector Bundles
2.Covariant Derivatives
3.The Curvature Tensor of a Connection
4.Connections on Manifolds
5.Connections on Principal Bundles

Chapter 5.Metric Structures
1.Euclidean Bundles and Riemannian Manifolds
2.Riemannian Connections
3.Curvature Quantifiers
4.Isometric Immersions
5.Riemannian Submersions
6.The Gauss Lemma
7.Length—Minimizing Properties of Geodesics
8.First and Second Variation of Arc—Length
9.Curvature and Topology
10.Actions of Compact Lie Groups

Chapter 6.Characteristic Classes
1.The Weil Homomorphism
2.Pontrjagin Classes
3.The Euler Class
4.The Whitney Sum Formula for Pontrjagin and Euler Classes
5.Some Examples
6.The Unit Sphere Bundle and the Euler Class
7.The Generalized Gauss—Bonnet Theorem
8.Complex and Symplectic Vector Spaces
9.Chern Classes
Bibliography
Index

前言/序言

好的，这是一份关于《微分几何中的度量结构》的图书简介，内容详尽，旨在全面介绍该领域的核心概念与应用，但不包含您所提到的具体书名本身。 --- 图书简介：微分几何中的度量结构 核心主题：黎曼几何与规范场论的基石 本书深入探讨了现代微分几何的中心议题——度量结构。它不仅仅是一本介绍黎曼几何基础的教科书，更是一部旨在揭示度量结构在拓扑学、广义相对论、规范场论以及拓扑量子场论中深刻作用的专著。本书的叙述风格严谨而富有洞察力，旨在为读者提供一套扎实的理论框架，以理解空间几何如何被“度量”所定义和塑造。 第一部分：基础与工具箱的构建 全书伊始，我们首先确立了微分几何的分析基础。从光滑流形、切丛、张量场以及微分形式的定义出发，本书为后续的几何结构引入奠定了必备的分析工具。重点在于对切丛（Tangent Bundle）和余切丛（Cotangent Bundle）的深入理解，以及如何通过这些结构来构造张量代数（Tensor Algebra）。 随后，我们引入了度量张量（Metric Tensor）这一核心概念。我们详尽地探讨了度量张量作为一种光滑的、正定（或半正定）的二次型，如何在流形上定义距离、角度和体积。书中通过具体的例子，如欧几里得空间、球面和双曲空间，直观地展示了局部坐标系下度量张量的具体表示形式，以及它在坐标变换下的行为——协变性和逆变性。 共变导数与测地线 度量结构不仅仅关乎静态的长度和角度，更在于描述运动和演化。因此，本书的第二部分重点剖析了共变导数（Covariant Derivative），这是度量结构在切丛上自然产生的概念。我们详细推导了列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）的存在性和唯一性，该联络的特点是无挠（Torsion-free）且与度量相容（Metric-compatible）。 基于列维-奇维塔联络，我们构建了测地线（Geodesics）的概念——流形上“最短路径”的推广。书中不仅提供了测地线方程的推导，还探讨了测地线的全局性质，例如完备性（Completeness）以及它们在弯曲空间中的行为。这部分内容是理解广义相对论中物质运动轨迹的关键。 曲率的几何意义 度量张量的微分性质集中体现于曲率（Curvature）。本书系统地介绍了黎曼曲率张量的构造，包括里奇张量（Ricci Tensor）、里奇标量（Ricci Scalar）以及魏因加滕张量（Weyl Tensor）。我们深入分析了这些张量在度量结构中扮演的角色：里奇张量描述了流形在体积上的平均偏离程度（与引力源直接相关），而魏因加滕张量则描述了流形局部上“共形不变”的部分，即纯粹的形状弯曲。 通过对曲率的细致讨论，读者将能够理解高斯绝妙定理的推广，并掌握截面曲率（Sectional Curvature）这一衡量任意二维子空间弯曲程度的几何不变量。 第二部分：度量结构在物理学中的应用深化 本书的后半部分将理论视角转向了更广阔的应用领域，重点关注度量结构如何成为现代物理学的数学骨架。 爱因斯坦场方程与弯曲时空 在广义相对论的框架下，时空本身由一个洛伦兹度量（Lorentzian Metric）定义。本书详细阐述了如何将黎曼几何的工具应用于闵可夫斯基时空的推广——四维伪黎曼流形。我们严格推导了爱因斯坦场方程（Einstein Field Equations），并阐明了度量张量如何直接与能量-动量张量相关联，从而解释了物质如何决定时空的几何结构。对于史瓦西解和弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）度量等经典解的分析，帮助读者将抽象的度量概念与宇宙学和黑洞物理现象联系起来。 规范场论中的结构 本书还探讨了度量结构在规范场论（Gauge Theory）中的体现。虽然规范理论主要基于纤维丛上的联络，但当我们将度量结构引入到与规范场相关的流形（如Kaluza-Klein理论中的紧致化空间）时，度量结构便起到了决定物理力传播和粒子质量的关键作用。我们分析了霍奇理论（Hodge Theory）在流形上的应用，特别是霍奇分解如何帮助理解拉普拉斯-德拉姆算子在弯曲空间中的性质，这对于量子场论中的规范不变性分析至关重要。 共形几何与规范不变性 度量结构的一个重要分支是共形几何（Conformal Geometry）。我们探讨了共形等价性，即两个度量张量可以通过一个正值的标量函数相关联。共形不变性在描述无质量粒子（如光子）的行为以及在共形场论（Conformal Field Theory, CFT）中占据核心地位。书中介绍了共形曲率（Weyl Tensor）在保持共形不变性方面的重要性，以及在分析四维流形上的狄拉克算子（Dirac Operator）谱时，度量结构如何影响费米子的行为。 结论与展望 《微分几何中的度量结构》旨在为读者构建一座坚实的桥梁，连接纯粹的数学结构与前沿的物理应用。通过对从基本定义到复杂理论的系统性梳理，本书不仅教授了如何计算和操作度量张量，更重要的是培养了读者运用几何直觉来解决拓扑、分析和物理问题的能力。最终，读者将深刻理解到，在现代科学的许多领域中，几何不是被动的背景，而是主动的参与者——而度量结构正是这种参与的数学语言。 ---

评分☆☆☆☆☆

阅读过程中，我最大的感受是作者对几何直观保持的执着。尽管主题是抽象的微分几何，但书中穿插的几何图像和例子，有效地“锚定”了抽象的数学语言。例如，在讲解测地线偏离方程时，作者没有停留在代数形式的推导，而是巧妙地结合了体积膨胀因子和法向截面曲率的概念，使得读者能“看到”相邻测地线如何因空间弯曲而相互远离或靠近。这种结合代数严谨性和几何洞察力的叙述方式，极大地提升了学习效率。此外，书中对李群和李代数在几何结构中的作用的讨论，也处理得非常精妙，将代数结构的美感融入到微分几何的框架之中。对于那些希望通过几何来理解代数结构，或通过代数工具来解析复杂几何问题的读者，这本书无疑提供了一个绝佳的视角转换平台，其叙事节奏张弛有度，引人入胜。

评分☆☆☆☆☆

这本书在工具书的实用性方面表现得淋漓尽致。它的价值不仅仅在于理论的构建，更在于它系统地总结了处理流形上各种几何对象的标准方法和技巧。我尤其喜欢其中关于张量分析和外微分形式的运算规则的总结部分，其编排清晰，极大地方便了在处理具体问题时的查阅。许多证明中的关键引理或中间步骤，作者都以脚注或旁注的形式单独列出，使得主体论证线索保持流畅的同时，也为需要细节的学生留下了充足的探索空间。与某些偏重于拓扑或纯代数处理的同类书籍相比，这本书更贴近“度量”这个核心概念，对空间内部距离、角度和体积的内在度量机制进行了深入的挖掘。总而言之，这是一部结构完整、论证严密、且具备极高参考价值的经典之作，值得所有对几何结构感兴趣的数学家和物理学家珍藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实引人注目，那种深邃的靛蓝色背景，仿佛将人瞬间拉入一个由曲线和曲面构筑的抽象宇宙。初次翻阅，我立刻被其严谨的逻辑脉络所吸引。作者似乎拥有一种化繁为简的魔力，将那些在其他教材中晦涩难懂的概念，用一种极其清晰、层层递进的方式娓娓道来。尤其是关于黎曼度量的引入部分，作者并没有急于抛出复杂的张量运算，而是先从直观的内积概念入手，逐步过渡到流形上的内积，这种循序渐进的教学方式，对于初学者来说简直是福音。我发现，许多我过去理解模糊的地方，在阅读完相关章节后豁然开朗。书中对经典微分几何概念的阐述，既保持了数学上的精确性，又兼顾了物理直觉的培养，让人在学习的过程中能够不断地与现实世界中的几何直观建立联系。整体阅读体验下来，感觉就像是跟随一位经验丰富的向导，在错综复杂的几何迷宫中，被精准地引导向每一个关键的转折点。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度令人印象深刻，它不仅仅是一本教科书，更像是一部结合了历史梳理和前沿探索的学术专著。不同于市面上许多只关注欧氏空间推广的著作，此书对一般流形上的各种结构进行了详尽的讨论，特别是对规范不变性和共变导数的处理，展现了作者深厚的理论功底。我特别欣赏书中对各种“度量”概念的细致区分和比较，例如伪黎曼度量、辛结构与复结构的兼容性探讨，这些内容在本科阶段的教材中是极为罕见的。每当我对某一理论感到困惑时，总能从书后的拓展阅读建议中找到进一步深挖的方向。排版方面也做得相当出色，公式的对齐和符号的规范使用，极大地降低了阅读疲劳。对于有志于深入研究广义相对论或拓扑场论的读者来说，这本书提供的理论基础无疑是坚实且无可替代的，它为理解更高维、更抽象的空间结构奠定了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的难度是摆在那里的，它绝非是那种可以在咖啡馆里轻松翻阅的休闲读物。某些章节，比如关于调和形式和德拉姆上同调与度量张量的相互作用的探讨，需要读者投入大量时间进行反复咀嚼。然而，正是这种挑战性，使得最终的收获显得尤为珍贵。作者的行文风格趋于内敛和克制，不使用过多华丽的辞藻，每一个定理的陈述都直击核心，证明过程详略得当，既保证了逻辑的完整性，又避免了不必要的冗余。我个人认为，这本书更适合作为研究生或高年级本科生的核心参考书，如果作为第一本微分几何入门读物，可能需要配合大量的辅导材料或导师的指导。但对于已经具备扎实微积分和线性代数基础的读者而言，它无疑是一座通往更深奥几何殿堂的坚固桥梁，每一步攀登都充满了对数学之美的敬畏。

评分☆☆☆☆☆

数学专业人士

评分☆☆☆☆☆

内容很经典，叙述清晰。是一部学习微分流形和纤维丛的入门书籍，从矩阵微分几何的观点出发研究纤维丛，讨论了欧几里得丛；黎曼连通；曲率和Chern-Weil理论；也包括Pontrjagin, Euler, 和Chern 的向量丛特征类，并通过球上的丛详细阐释了这些概念。目次：微分流形；纤维丛；同伦群和球上的丛；连通和曲率；度量结构；特征类。

评分☆☆☆☆☆

书有点薄。

评分☆☆☆☆☆

本书是 2004 年由斯普林格出版社推出，今年初由世界图书做了面前的这个影印版。本书的内容实质是微分流形和纤维丛的很基本的理论。这本书是根据作者给研究生上课的讲义修改完成的，适合高年级的本科生和研究生阅读，是比本的微分几何著作，写的也清晰。本书有165个习题，不容易，有点费劲

评分☆☆☆☆☆

内容很经典，叙述清晰。是一部学习微分流形和纤维丛的入门书籍，从矩阵微分几何的观点出发研究纤维丛，讨论了欧几里得丛；黎曼连通；曲率和Chern-Weil理论；也包括Pontrjagin, Euler, 和Chern 的向量丛特征类，并通过球上的丛详细阐释了这些概念。目次：微分流形；纤维丛；同伦群和球上的丛；连通和曲率；度量结构；特征类。

评分☆☆☆☆☆

经典专业书籍，多次购买，质量一如既往。

评分☆☆☆☆☆

内容很经典，叙述清晰。是一部学习微分流形和纤维丛的入门书籍，从矩阵微分几何的观点出发研究纤维丛，讨论了欧几里得丛；黎曼连通；曲率和Chern-Weil理论；也包括Pontrjagin, Euler, 和Chern 的向量丛特征类，并通过球上的丛详细阐释了这些概念。目次：微分流形；纤维丛；同伦群和球上的丛；连通和曲率；度量结构；特征类。

评分☆☆☆☆☆

经典专业书籍，多次购买，质量一如既往。

评分☆☆☆☆☆

书有点薄。