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宋申民 著

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030410863

版次：1

商品编码：11500882

包装：平装

丛书名： 空天技术前沿研究丛书

开本：32开

出版时间：2014-07-01

用纸：胶版纸

页数：468

字数：590000

正文语种：中文

内容简介

《运动稳定性与航天控制》从基本概念入手，由浅入深、循序渐进地阐述了运动稳定性的基本理论和近代发展的成果，总结了作者在航天控制中的研究成果。《运动稳定性与航天控制》是作者在为哈尔滨工业大学航天学院控制科学与工程以及宇航科学与技术等相关专业研究生讲授稳定性理论课程的基础上，结合作者近几年的研究成果编写而成的
《运动稳定性与航天控制》主要内容包括：李雅普诺夫稳定性概念与主要理论和扩展；李雅普诺夫稳定性近代发展的结果，如扰动系统的稳定性与有界性、有限时间稳定性、切换系统的稳定性等；系统的输入输出特性、无源性与耗散性，尤其是与李雅普诺夫稳定性的关系；重点介绍了基于李雅普诺夫的非线性控制系统设计——反步法与滑模控制；最后是稳定性理论在航天控制中的应用，如航天器的姿态控制与姿态协同控制等。附录为刚体的姿态运动学与动力学模型。

作者简介

宋申民，哈尔滨工业大学航天学院教授，博士生导师，中国数学学会、中国宇航学会会员，《哈尔滨工业大学学报》编委。

作为项目负责人完成了多项863航空航天领域项目，主要包括：航天器最优追踪与反追踪算法、航天器对接与分离技术以及地面演示实验、非合作目标交会对接控制技术等；主持完成了多项与中国航天科工集团公司第三研究院的合作课题，主要包括：系统评估评价方法、复杂系统评估评价数据库开发、效能评估方法等。作为骨干成员完成了国家自然科学基金重大国际合作项目“基于优化的鲁棒控制理论与应用”以及“211”、“985”建设项目“面向几类空间操作的GNC关键技术研究与地面仿真验证”的研究工作。

目前主持国家自然科学基金课题“面向在轨操控的多航天器期望模式运动分布式自主协同控制”，中国航天科工集团公司第三研究院合作项目“试验数据融合与分析系统”、“试验设计系统”，863课题“模块航天器集群内测量、导航和控制及自主编队飞行与重构技术研究”以及CAST创新基金项目和航天支撑基金等多项课题。作为骨干成员正在进行973子课题“空间合作目标运动再现中跨尺度控制的前沿数学问题”、国家自然科学基金创新群体子课题“航天飞行器的鲁棒控制理论与应用”以及国家自然科学基金重点课题“网络化卫星编队的协调控制方法及实现技术”等项目的研究。

发表学术论文120余篇，出版著作3部。获教育部自然科学奖一等奖一项，黑龙江省高等学校教学成果奖二等奖一项。

内页插图

目录

目录

前言


第1章运动稳定性的基本概念1

1��1系统的微分方程描述与稳定性的初步概念1

1��1��1系统运动的微分方程描述1

1��1��2稳定性的初步概念2

1��1��3几个典型的运动微分方程4

1��2微分方程解的基本性质6

1��2��1微分方程解的存在唯一性与可延拓性定理6

1��2��2解对初值与参数的连续依赖性与可微性9

1��2��3自治系统与非自治系统解的性质12

1��3李雅普诺夫稳定性的定义14

1��3��1几点说明14

1��3��2稳定性、不稳定性与一致稳定性18

1��3��3吸引、渐近稳定与一致渐近稳定21

1��3��4指数稳定23

1��4稳定性定义的补充说明与示例24

1��4��1稳定性定义中的初始扰动与初始时刻24

1��4��2渐近稳定性定义中的等度性25

1��4��3各种稳定性概念之间的关系与例子27

1��4��4稳定性的几个等价命题30

1��5问题与习题30

1��6附注与总结31

1��6��1关于稳定性定义的发展演变31

1��6��2轨道稳定性与非线性系统的振动现象31

1��6��3本章小结与评述33

第2章自治系统的稳定性35

2��1正定函数35

2��1��1正定函数的一般定义35

2��1��2二次型36

2��1��3一般V（x）的符号判定37

2��1��4V（x）的几何形象37

2��2李雅普诺夫基本定理39

2��2��1稳定性定理39

2��2��2渐近稳定性定理41

2��2��3不稳定性定理44

2��3拉萨尔不变原理49

2��4线性定常系统的稳定性与一次近似方法56

2��4��1线性定常系统稳定性的直接判据56

2��4��2线性定常系统李雅普诺夫稳定性定理57

2��4��3一次近似方法60

2��5吸引域62

2��5��1吸引域的定义与性质62

2��5��2吸引域的估计64

2��6问题与习题70

2��7附注与总结73

2��7��1李雅普诺夫第一方法73

2��7��2应用李雅普诺夫函数进行系统性能分析74

2��7��3本章小结与评述76

第3章非自治系统的稳定性77

3��1时变正定函数、K(KL)类函数与稳定性定义的重新描述77

3��1��1时变正定函数77

3��1��2K类函数与KL类函数以及稳定性定义的重新描述79

3��2稳定性定理80

3��2��1稳定性定理80

3��2��2一致稳定性定理82

3��2��3一致渐近稳定性定理83

3��2��4指数稳定性定理85

3��2��5不稳定性定理87

3��3线性时变系统稳定性与一次近似方法88

3��3��1线性时变系统稳定性的性质88

3��3��2直接判据90

3��3��3李雅普诺夫定理92

3��3��4非自治系统的一次近似方法94

3��4逆定理95

3��5非自治系统的渐近稳定性定理、Barbalat引理
与类不变集定理100

3��5��1非自治系统的渐近稳定性定理100

3��5��2Barbalat引理与类不变集定理103

3��5��3Matrosov定理108

3��6问题与习题111

3��7附注与总结113

3��7��1线性时变系统稳定性判别的补充113

3��7��2本章小结与评述117

第4章稳定性理论的扩展（Ⅰ）119

4��1李雅普诺夫函数的构造119

4��1��1常系数线性系统的巴尔巴欣公式119

4��1��2二次型方法的推广121

4��1��3线性类比法123

4��1��4能量函数法126

4��1��5分离变量法127

4��1��6变梯度法129

4��2比较方法130

4��2��1常微分方程理论中的比较定理130

4��2��2稳定性中的比较方法132

4��3部分变量稳定性137

4��3��1基本定义137

4��3��2V函数的性质139

4��3��3关于部分变元稳定性的基本定理139

4��4扰动系统的稳定性143

4��4��1标称系统为指数稳定情形144

4��4��2标称系统为一致渐近稳定情形148

4��4��3线性时变系统的存在扰动项情形149

4��5有界性与最终有界性151

4��5��1有界性151

4��5��2一致最终有界性152

4��6扰动系统的有界与最终有界154

4��6��1标称系统为指数稳定情形154

4��6��2标称系统为一致渐近稳定情形158

4��6��3V函数微分不等式的另一种情形159

4��7问题与习题160

4��8附注与总结163

4��8��1系数冻结法163

4��8��2中心流形定理163

4��8��3本章小结与评述166


第5章稳定性理论的扩展（Ⅱ）168



5��1反馈控制系统的绝对稳定性168

5��1��1非线性系统的绝对稳定性与鲁里叶问题168

5��1��2绝对稳定性判据：二次型加积分项的V函数方法168

5��1��3绝对稳定性的波波夫判据171

5��1��4圆判据：古典控制理论中Nyquist判据的推广174

5��2周期系数系统的稳定性175

5.2.1特征方程176

5.2.2李雅普诺夫变换、拓扑等价与周期系数系统的可化性177

5.2.3稳定性判据与解的几何特征179

5.2.4周期系数线性系统解的结构181

5��3切换系统的稳定性183

5��3��1切换系统模型183

5.3.2切换系统的基本特性184

5��3��3切换系统的稳定性187

5��4非线性系统的有限时间稳定192

5��4��1有限时间稳定性定义192

5��4��2基于李雅普诺夫方法的有限时间稳定判据192

5��4��3齐次系统有限时间稳定判据196

5��5力学系统的稳定性200

5.5.1保守力系统的稳定性200

5��5��2耗散力学系统的稳定性205

5��5��3陀螺力学系统的稳定性209

5��6问题与习题214

5��7附注与总结216

5��7��1有心力运动的稳定性216

5.7.2卫星运动的稳定性218

5��7��3本章小结与评述224

第6章系统的输入输出特性、无源性与耗散性226

6.1系统的输入输出稳定性与小增益定理226

6.1.1系统的输入输出稳定性226

6.1.2小增益定理230

6��2输入状态稳定性、输入输出稳定性与李雅普诺夫稳定性232

6��2��1输入状态稳定性232

6.2.2输入输出稳定性与李雅普诺夫稳定234

6��3耗散性与无源性238

6.3.1耗散性与无源性的概念238

6.3.2无源性与L2稳定性以及李雅普诺夫稳定性的联系241

6.3.3基于无源性的刚体姿态控制244

6��4互联系统的无源性246

6��5线性系统的正实性与有界实性250

6��5��1线性系统的正实性250

6.5.2线性系统的有界实性252

6��6问题与习题253

6��7附注与总结256

6��7��1欧拉�怖�格朗日系统的无源性与稳定性256

6.7.2端口受控耗散哈密顿系统的稳定性258

6.7.3本章小结与评述259


第7章基于李雅普诺夫稳定性理论的非线性控制系统设计：反步法与滑模

控制261

7��1引言261

7��2非线性系统反步设计方法266

7��2��1反步法的基本方法266

7��2��2多输入系统的反步法270

7��3滑模控制274

7��3��1滑模控制的基本方法274

7��3��2滑模控制的设计方法277

7��3��3滑模控制中的不连续控制信号与抖振279

7��3��4刚体姿态的滑模控制284

7��4终端滑模控制288

7��4��1终端滑模的基本方法288

7��4��2基于终端滑模的卫星姿态控制律设计290

7��5分数阶系统稳定性及分数阶滑模控制294

7��5��1分数阶系统的基础理论295

7��5��2分数阶系统的稳定性299

7��5��3分数阶滑模控制302

7��5��4挠性航天器姿态的分数阶滑模控制器设计307

7��6附注与总结314

第8章航天器的姿态控制与姿态协同控制315



8��1PD+控制作用下姿态跟踪系统李雅普诺夫稳定性分析315

8��1��1航天器姿态跟踪控制问题描述316

8��1��2采用二次型李雅普诺夫函数分析姿态跟踪系统的稳定性317

8��1��3采用含交叉项的李雅普诺夫函数分析姿态跟踪系统的稳定性321

8��1��4采用变量变换分析姿态跟踪系统的稳定性322

8��2空间绕飞任务中航天器姿态跟踪的鲁棒控制325

8��2��1挠性航天器姿态跟踪模型326

8��2��2绕飞任务中的期望姿态解算328

8��2��3输入饱和的鲁棒姿态跟踪控制器设计329

8��2��4仿真验证334

8��3航天器编队飞行输入受限的姿态协同控制336

8��3��1模型建立及问题描述336

8��3��2无输入受限约束的姿态协同控制338

8��3��3输入受限的全状态反馈姿态协同控制343

8��4航天器编队飞行输入受限的鲁棒姿态协同控制347

8��4��1基于双曲正切函数的鲁棒饱和控制器348

8��4��2基于一种非线性饱和函数的自适应鲁棒饱和控制器350

8��4��3仿真验证352

8��5附注与总结356

8��5��1研究工作总结356

8��5��2航天器的姿态控制与姿态协同控制发展展望357


第9章航天器编队飞行队形协同控制与姿轨
耦合控制359

9��1航天器编队飞行队形协同控制359

9��1��1模型建立及问题描述360

9��1��2全状态反馈队形协同控制363

9��1��3仿真验证367

9��2航天器编队飞行无速度测量控制371
9��2��1无速度测量队形协同控制器371

9��2��2改进的无速度测量队形协同控制器373

9��2��3仿真验证375

9��3考虑避免碰撞的编队卫星自适应协同控制379

9��3��1控制器设计380

9��3��2仿真验证385

9��4航天器编队飞行姿轨耦合系统控制389

9��4��1模型建立及问题描述390

9��4��2全状态反馈情形下的6DOF自适应鲁棒协同控制器394

9��4��3无角速度和速度测量情形下的6DOF自适应鲁棒协同控制器398

9��4��4仿真验证402

9��5附注与总结407

9��5��1非合作航天器自主交会对接近距离交会段安全接近制导方法407

9��5��2研究工作总结416

9��5��3航天器的相对轨道机动控制与姿轨耦合控制发展展望417

参考文献419

附录A刚体姿态的运动学与动力学模型431

A��1欧拉角描述法431

A��1��1参数描述431

A��1��2与旋转矩阵的关系432

A��1��3运动学方程433

A��2欧拉轴/角参数434

A��2��1参数描述434

A��2��2与旋转矩阵的关系434

A��2��3运动学方程435

A��3姿态四元数435

A��3��1参数描述435

A��3��2运算法则435

A��3��3转换关系436

A��3��4运动学方程437

A��3��5含有姿态四元数的李雅普诺夫函数性质439

A��4Rodrigues参数/修正Rodrigues参数439

A��4��1刚体姿态的Rodrigues参数描述439

A��4��2RPs和MRPs具有的相关性质441

A��4��3转换关系441

A��4��4运动学方程442

A��4��5含RPs和MRPs的李雅普诺夫函数性质444

A��5旋转矩阵描述法444

A��5.1旋转矩阵的姿态描述444

A��5��2旋转矩阵的一些性质446

A��5��3旋转矩阵表示的姿态运动学方程446

A��5��4含有旋转矩阵的李雅普诺夫函数性质447

A��6各种姿态描述的比较448

A��7刚体姿态动力学449

A��7��1动力学方程449

A��7��2动力学方程的李雅普诺夫稳定性451

精彩书摘

第1章运动稳定性的基本概念
稳定性的研究对象是系统的运动，它是系统运动受到扰动后的一种重要性质［1��14］。首先，1,1节引入描述系统运动的微分方程，并介绍几个典型运动的微分方程描述；1,2节给出了微分方程解的存在性与唯一性等一般性质，在此基础上，引入李雅普诺夫稳定性的概念。稳定性的概念，虽然在表面上看并不复杂，并被广泛地应用，但含义很深刻，很容易被误解；1,3节详细地阐述了李雅普诺夫稳定性的严格定义，并给出了清晰的说明，为了进一步理解概念，利用了数学分析中的ε�拨挠镅悦枋觯蛔詈螅�对不同稳定性的定义给出了示例说明。
1,1系统的微分方程描述与稳定性的初步概念〖1〗
1,1,1系统运动的微分方程描述
我们研究系统，总要定义系统内部的变量，然后分析它们之间的关系，对各种关系进行描述，其中最常用且最有力的一种数学描述就是微分方程。
微分方程是一个包含自变量、未知函数以及未知函数导数的方程。如果微分方程只有一个自变量（如一般的实际问题中时间t通常为自变量）就称为常微分方程；如果有两个或两个以上的自变量（如研究一个房间中的温度变化，除时间是自变量，温度在三维空间中的分布也是不同的，则三维坐标也是自变量）称为是偏微分方程［10��26］。本书只研究常微分方程或方程组的稳定性问题。
系统中变量的变化一般称为系统的运动，如力学系统中的位置与速度的改变、机电系统中电压电流的增减等。系统的运动可以通过一组变量的变化来完全充分地表示出来，那么这组变量就称为系统的状态变量，记为
x1，x2，…，xn，对于力学系统可以取为广义坐标以及广义速度变量。称状态变量的向量形式x=［x1，x2，…，xn］T为状态向量。

系统的运动方程可以表示为如下一阶微分方程组的形式：
i=fi（t，x1，…，xn），i=1，…，n（1,1,1）

其中，x1，…，xn是t的未知函数；f1，…，fn是t，x1，…，xn的已知函数。方便起见，可以写为向量形式，即
=f（t，x）（1,1,2）

其中，t∈R，x=（x1，…，xn）T∈Rn（n维实欧氏空间）；f=（f1，…，fn）T∈Rn是定义在n+1维的（t，x）�部占渲心掣銮�域Ω上的n维向量函数，即f：Ω�罵n+1→Rn。
有时也称式（1,1,2）为一个微分系统，称f为系统的向量场。如果f与t无关，即对于所有（t，x）�鸡福琭（t，x）=f（x），式（1,1,2）变为

=f（x）（1,1,3）

称为定常微分方程，所描述的系统称为自治的系统。否则，向量场f显含时间变量t，则称为非自治微分方程，所描述的系统称为非自治系统。
如果向量场函数f（t，x）可以写成线性的形式，则称为线性系统。
根据系统矩阵A是否随时间变化，可把线性系统分为自治的和非自治的，但对于线性系统一般称为定常的和时变的。
对于时变的线性系统具有如下形式：

=A（t）x（1,1,4）

其中，A（t）是n×n矩阵。
定常的线性系统具有如下形式：
=Ax（1,1,5）
假设x=φ（t）是定义在时间开区间I=（a，b）�糝上的可微函数（I可以是有限区间或者无限区间），对于一切t∈I，有（t，φ（t））∈Ω�罵n+1，并满足式（1,1,2），则有

（t）=f（t，φ（t））

成立，则称φ（t）为式（1,1,2）在I上的一个解。解x=φ（t）在（t，x）�部占渲械募负瓮夹问且惶跚�线，称为式（1,1,2）的积分曲线，或称为系统的轨线。
我们知道，在航空航天、生物工程、社会经济等领域有大量的动态系统可以用常微分方程来描述，这些微分方程的轨线表现出了纷繁多姿的奇妙的动力学行为。其中，系统运动的稳定性就是最基本最重要的性质之一［1，2，19］。
下面举例来说明系统运动的概念，如状态、平衡点等，并简单提及运动稳定性的初步概念。
1,1,2稳定性的初步概念
运动稳定性的概念起源于力学系统，它刻画了一个刚体运动的平衡状态的性质。通常说一个平衡状态是稳定的，是指刚体处于静止的平衡状态，受到一个小的扰动力的作用偏离了平衡位置后，仍能回到原来的位置或者原来位置的附近；反之，如果它不能回到原来的位置或原来位置的附近，则称为是不稳定的。
例1,1,1如图1,1,1所示，小球在曲面上的运动，有两个静止的位置，位置A受到扰动力的影响，偏离了平衡位置后，将不能回到原来的位置，因此是不稳定的，而位置B是稳定的。



图1,1,1小球在曲面上的运动示意图



例1,1,2图1,1,2所示为简化了的物理中的下垂摆与倒立摆，文献中也称为平面数学摆的振动问题。其运动微分方程为

+glsinθ=0

其中，θ为摆杆相对于铅垂线的偏角；l为摆杆的长度；g为重力加速度。





图1,1,2下垂摆与倒立摆



图1,1,2（a）中，下垂摆的最低点是一个平衡位置，在此处，θ=0，
=0，如果球的初始速度为0，它将一直在这个位置上。如果受到一个扰动力的作用，偏离了平衡点，那么小球将在平衡点附近以一个小的角度摆动，这种现象一般称为稳定。再考虑图1,1,2（b），在倒立摆的最高点，此处也有θ=0，=0，显然也是一个平衡点，但是即使是受到一个非常小的扰动力的作用，小球也将偏离平衡点而达到新的位置，这种现象则称为不稳定。
再来考察图1,1,2（a），如果考虑到实际物理系统中存在的铰链摩擦和空气阻力，则描述运动的微分方程为
+2μ+k2sinθ=0（1,1,6）

其中，k为常数；μ为阻尼系数；0<μ在平衡点，小球受到扰动力的作用，进行摆动，由于阻尼力的作用，摆角将逐渐减小，最后减为0，即摆停在平衡位置上。系统在这一情况下当然是稳定的，但比无阻尼情况有更强的性质，我们称系统的平衡位置是渐近稳定的。
说明以上两个例子中所说的稳定性都是对于平衡点的稳定性，而在前面反复说过，我们所研究的是运动的稳定性，实际上，平衡点是一种特殊的运动形式，这里简单的例子是为了清晰地说明稳定性的初步概念，在后面将指出，对于任何一种系统的运动稳定性的讨论都可以转化为对另一个变形后系统的平衡点的稳定性的讨论。
1,1,3几个典型的运动微分方程
为了方便以后进一步的讨论说明，下面给出了一些描述系统运动的典型微分方程的例子［2，8，19，25］。
例1,1,3刚体的姿态运动问题。研究刚体由于惯性绕固定点的转动，即陀螺运动的欧拉情况，其运动微分方程为


A+（C-B）qr=0

B+（A-C）rp=0

C+（B-A）pq=0（1,1,7）

其中，p、q、r为瞬时角速度矢量ω=［p，q，r］T在活动坐标轴上的投影，这些坐标轴与刚体对于固定点的中心矢量主轴相重合；A、B、C是刚体对于这些轴的惯量矩。式（1,1,7）有特解为
p=p0=const，q=r=0（1,1,8）

令x=p-p0，y=q，z=r，则描述刚体转动的式（1,1,7）可转化为


A+（C-B）yz=0

B+（A-C）（x+p0）z=0

C+（B-A）（x+p0）y=0（1,1,9）


研究式（1,1,7）对于式（1,1,8）的运动稳定性，实际上等价于研究式（1,1,9）对于零平衡点的稳定性问题。
例1,1,4机械和电路的振动问题。机械系统和电路系统通常可以用微分方程（组）描述。一个典型的方程形式为二阶方程，即
+p（t，x，）=q（t），x∈R（1,1,10）

其中，p、q是已知函数。许多著名的振动方程都是式（1,1,10）的特殊形式，具体如下。
（1） 单自由度强迫线性振子方程：
+2μ+k2x=Acosωt
（2） 李纳（Lienard）方程：

+f（x）+g（x）=0
（3） 范德坡（Vander Pol）方程：

+μ（x2-1）+x=0
（4） 瑞利（Rayleigh）方程：

-μf（）+k2x=0
（5） 杜芬（Duffing）方程：

+2μ+k2x+ax3=Acosωt
（6） 希尔（Hill）方程：

+（α+φ（t））x=0，φ（t+T）=φ（t）
（7） 马蒂厄（Mathieu）方程：

+2μ+（a+bcosωt）x=0
式（1,1,10）可以写为标准型方程组，即

=y

=-p（t，x，y）+q（t）
（1,1,11）
例1,1,5生态问题。若有两个种群，它们的成员数分别为x和y。由于种群之间的相互作用和内部制约作用的影响，一般来说x和y的增长率都会与x和y有关，x≥0，y≥0，有

=f1（x，y）

=f2（x，y）（1,1,12）

式（1,1,12）一个重要的例子是Volterra�睱otka方程，即

=x（A-By）

=y（Cx-D）（1,1,13）

例1,1,6化学和生物化学问题。Prigogine和Lefever在1968年提出所谓Brusselator的三分子化学反应模型。设浓度分别为x和y的两种反应物质是空间均匀的，x≥0，y≥0，则有化学反应速率方程为

=a-（b+1）x+x2y

=bx-x2y（1,1,14）
Belousov�瞆habotinsky反应（1958）是一种存在周期性化学振荡行为的化学反应。Field和Noyes在1974年提出所谓的Oregonator模型去描述这种化学反应。它包含三种化学反应物质，假设浓度x、y、z是空间均匀的，则有反应速率方程为

=k1Ay-k2xy+k3Ax-2k4x2

=-k1Ay-k2xy+k5Bz

=k3Ax-k5z（1,1,15）

其中，x≥0；y≥0；z≥0；A、B、k1、k2、k3、k4、k5都为正常数。
例1,1,7生物学问题。在细胞中，令x=［x1，x2］T代表一种稳定蛋白质，y=［y1，y2］T代表这个蛋白质的活性形态。于是两个耦合的细胞中x和y的变化满足如下方程组：
1=A-Bx1-x1y21+δ1（x2-x1）

2=A-Bx2-x2y22+δ1（x1-x2）

1=Bx1+x1y21-y1+δ2（y2-y1）

2=Bx2+x2y22-y2+δ2（y1-y2）
（1,1,16）
1,2微分方程解的基本性质
研究系统运动的稳定性，首先要考察描述运动的微分方程的性质，尤其微分方程解的一般性质，如解的存在性、唯一性以及解对于初值的连续依赖性等。这些性质对于微分方程能否有效地描述系统运动是至关重要的。另外，对于一般的非线性微分方程，它的解的表达式一般是求不出来的。所以仅仅根据向量场函数来了解分析方程解的一般性质，在微分方程定性理论中也起着重要的作用［15��59］。
本节简单叙述微分方程解的存在唯一性、可延拓性、解对于初值和参数的连续依赖性定理，并对自治系统与非自治系统解的性质做初步的分析，为稳定性概念的介绍作准备［5��7，19，56］。
考察微分方程组：
=f（t，x）

x（t0）=x0（1,2,1）

其中，时间t属于某开区间I=（t1，t2）（t1≥-∞；t2≤+∞）；状态向量x∈Ω�糝n；f：I×Ω∈Rn+1→Rn；f（t，x）是连续的向量函数。

1,2,1微分方程解的存在唯一性与可延拓性定理
首先看两个例子。


图1,2,1例1,2,1方程解的积分曲线

例1,2,1求初值问题=x2，x（0）=x0，（t，x）∈R2的解。

解利用初等积分法，可以得到：当x0≠0时，x（t）=x01-x0t；当x0=0时，x（t）=0。

由图1,2,1可以看出，当x0=0时，初值问题的解在（-∞，+∞）上存在；而当x0<0 1="" x0="" x0="">0时，此解在（-∞，1/x0）上存在。可见，虽然对于任何的x0∈R，本例中方程初值问题的解都

前言/序言

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