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內容簡介

　　《高等數值計算》以數值計算方法的理論與方法為主綫，在介紹瞭綫性代數必備知識與誤差理論的基礎上，全麵介紹瞭求解綫性方程組的直接法，求解綫性方程組、非綫性方程（組）及矩陣特徵值與特徵嚮量的迭代法，函數的插值與逼近，數值積分與數值微分，求解常微分方程定解問題的數值方法，求解偏微分方程定解問題的有限差分法和有限元法，書中詳細講述瞭各種方法的構造思想、理論推導、計算公式以及誤差分析等內容。本書結構清晰，重點突齣，便於根據不同對象、學時和要求進行教學。此外，各章均配有一定數量的習題，以方便讀者學習本課程。
　　本書既適閤作為工科及理科高等院校高年級本科生、研究生的教材，也適閤作為教師和廣大科技工作者從事科學研究的參考書。

內頁插圖

目錄

第1章 預備知識與誤差理論
1.1 綫性代數的一些基礎知識
1.1.1 幾種常見矩陣及其性質
1.1.2 矩陣的特徵值問題與對角化
1.1.3 綫性空間與內積空間
1.1.4 嚮量範數
1.1.5 矩陣範數與矩陣的算子範數
1.2 誤差
1.2.1 誤差的來源與分類
1.2.2 誤差與有效數字
1.2.3 數值運算中的誤差估計
1.2.4 病態問題與算法穩定性分析
1.2.5 避免誤差危害與數值計算中算法設計
習題1
第2章 解綫性方程組的直接法
2.1 高斯消去法
2.1.1 基本高斯消去法
2.1.2 列主元高斯消去法
2.2 矩陣三角分解
2.2.1 LU分解
2.2.2 三對角方程組的追趕法
2.2.3 對稱矩陣的三角分解
2.2.4 平方根法
2.3 矩陣條件數與病態方程組
2.3.1 病態現象與條件數
2.3.2 綫性方程組的誤差分析
2.3.3 病態綫性方程組
2.4 豪斯霍爾德變換與QR分解
習題2
第3章 解綫性方程組的迭代法
3.1 經典迭代法的基本概念
3.1.1 雅可比迭代法
3.1.2 高斯�踩�德爾迭代法
3.1.3 逐次超鬆弛迭代法
3.2 迭代法的收斂性
3.3 共軛梯度法
3.3.1 最速下降法
3.3.2 共軛梯度法
習題3
第4章 非綫性方程與方程組的迭代解法
4.1 根的搜索
4.2 壓縮映像原理與不動點迭代法
4.2.1 不動點迭代法的基本思想
4.2.2 壓縮映像原理
4.2.3 不動點迭代法的收斂性
4.3 牛頓迭代法及其變形
4.3.1 牛頓迭代法及其收斂性
4.3.2 牛頓迭代法的修正
4.3.3 重根的迭代法
4.4 迭代收斂的加速方法
4.4.1 埃特金加速收斂方法
4.4.2 斯特芬森迭代法
4.5 求解非綫性方程組的迭代法
4.5.1 多變量的不動點迭代法
4.5.2 多變量的牛頓迭代法
習題4
第5章 矩陣特徵值和特徵嚮量的迭代算法
5.1 冪迭代法
5.1.1 冪迭代法原理
5.1.2 加速收斂的方法
5.1.3 反冪法
5.2 QR迭代法
5.2.1 QR迭代法的原理
5.2.2 黑森伯格矩陣
習題5
第6章 插值法
6.1 插值問題的提齣
6.2 多項式插值
6.3 拉格朗日插值方法
6.3.1 拉格朗日插值
6.3.2 插值餘項
6.4 牛頓插值多項式
6.4.1 差商形式的牛頓插值多項式
6.4.2 差商的基本性質
6.4.3 差分形式的牛頓插值多項式
6.5 埃爾米特插值多項式
6.5.1 構造基函數方法
6.5.2 待定係數法
6.5.3 重節點差商法
6.6分段低次插值
6.6.1 高次插值多項式的缺陷
6.6.2 分段綫性插值
6.6.3 分段三次埃爾米特插值
6.7三次樣條插值
6.7.1 三次樣條插值問題的基本提法
6.7.2 三次樣條插值公式
6.7.3 誤差階與收斂性
6.8 B樣條插值
6.8.1 B樣條函數
6.8.2 m次樣條函數空間
6.8.3 B樣條插值
習題6
第7章 函數逼近與麯綫擬閤
7.1 正交多項式
7.1.1 正交函數族
7.1.2 正交多項式的性質
7.1.3 勒讓德多項式
7.1.4 切比雪夫多項式
7.1.5 切比雪夫多項式零點插值
7.2 最佳平方逼近
7.2.1 最佳平方逼近及其誤差分析
7.2.2 用正交函數族作最佳平方逼近
7.3 麯綫擬閤的最小二乘法
7.3.1 最小二乘擬閤問題
7.3.2 非綫性最小二乘擬閤的綫性化
7.3.3 用正交多項式作最小二乘擬閤
習題7
第8章 數值積分與數值微分
8.1 數值積分的基本概念
8.1.1 插值型求積公式
8.1.2 求積公式的代數精度
8.2 牛頓�部鋪廝骨蠡�公式
8.2.1 牛頓�部鋪廝構�式
8.2.2 幾種常用的牛頓�部鋪廝骨蠡�公式
8.3 復化求積公式
8.3.1 復化梯形求積公式
8.3.2 復化辛普森求積公式
8.3.3 復化科特斯求積公式
8.4 龍貝格積分方法
8.4.1 後驗誤差估計
8.4.2 變步長梯形公式
8.4.3 理查森外推法
8.4.4 龍貝格算法
8.5 高斯求積公式
8.5.1 高斯型求積公式的建立
8.5.2 高斯求積公式的餘項
8.5.3 高斯�怖杖玫慮蠡�公式
8.5.4 高斯�睬斜妊┓蚯蠡�公式
8.6 數值微分
8.6.1 差商公式及誤差分析
8.6.2 插值型求導公式
8.6.3 三次樣條求導
習題8
第9章 常微分方程的初值問題
9.1 引言
9.2 常微分方程初值問題的一般方法
9.2.1 單步方法和多步方法
9.2.2 顯式方法和隱式方法
9.2.3 局部截斷誤差和整體截斷誤差
9.2.4 綫性多步法的相容性與收斂性
9.2.5 綫性多步法的穩定性與絕對穩定域
9.3 常微分方程初值問題的高階單步法
9.3.1 泰勒級數法
9.3.2 龍格�部饉�方法
9.4 高階單步方法的性態分析及改進
9.5 綫性多步法——亞當斯方法和吉爾方法
9.5.1 亞當斯�舶褪哺Ｋ擠椒�
9.5.2 亞當斯�材�爾頓方法
9.5.3 吉爾方法
9.6 一般綫性多步方法的構造
9.7 一階常微分方程組
9.8 剛性問題
9.8.1 隱式龍格�部饉�方法
9.8.2 吉爾方法
習題9
第10章 求解微分方程的有限差分法
10.1 解兩點邊值問題的差分方法
10.2 在矩形區域上求解橢圓邊值問題的差分方法
10.2.1 第一類邊值條件
10.2.2 第二、第三類邊值條件
10.3 在三角形網格上求解橢圓型方程的有限差分法
10.4 橢圓差分方程的性態研究
10.5 擴散方程的有限差分法
10.5.1 擴散方程的離散
10.5.2 古典顯格式
10.5.3 古典隱格式
10.5.4 剋蘭剋�材崢貧�森格式
10.5.5 最高截斷誤差階的兩層加權平均格式
10.5.6 理查森格式
10.6 對流方程的差分格式
10.7 波動方程的差分離散
習題10
第11章 求解微分方程的有限元法簡介
11.1 變分問題
11.1.1 兩點邊值問題的變分形式
11.1.2 泛函和變分
11.1.3 兩點邊值問題的變分形式
11.1.4 橢圓型方程的變分形式
11.2 泛函的極值問題
11.2.1 泛函的極值問題的存在性
11.2.2 與橢圓型方程相應的泛函極值問題
11.2.3 極值問題與變分問題之間的聯係
11.3 變分和泛函極值問題的近似求解
11.3.1 變分和泛函極值問題的進一步討論
11.3.2 裏茨法
11.3.3 伽遼金法
11.4 解橢圓型問題的有限元方法
11.4.1 基於變分問題的有限元方法
11.4.2 基於泛函極值問題的有限元方法
習題11
習題答案或提示
參考文獻

前言/序言

　　隨著計算機的廣泛使用與科學技術的迅速發展，科學計算已成為科學研究、工程設計中的一個重要的手段，它已成為與理論分析、科學試驗並駕齊驅的科學研究方法。目前，掌握和應用科學計算的基本方法或數值計算方法，已不再僅僅是數學專業的學生和專門從事科學與工程計算工作的科研人員的必備知識，大量從事力學、物理學、航空航天、信息傳輸、能源開發、土木工程、機械設計、醫藥衛生及社會科學領域的科研人員和工程技術人員，也將數值計算方法作為各自領域研究的一種重要研究工具。因此，“數值計算方法”已逐漸成為理工科大學本科生和碩士研究生的必修課程。
　　本教材根據國傢教委關於“數值計算方法”課程的基本要求，介紹計算機上常用的數值計算方法，不僅充實完善瞭綫性代數方程組直接法和迭代法、非綫性方程與方程組求根、函數的插值與逼近、數值微積分和微分方程數值解等內容，而且還增加瞭數值求解偏微分方程的有限差分法和有限元法。全書深入淺齣，層次分明，部分理論證明和全書內容獨立，便於根據工科研究生32學時、48學時等不同需求進行取材和教學，也適閤數學係高年級本科生64學時、72學時使用。該書在內容安排上，既注重理論的嚴謹性，又注重方法的實用性。每章配備瞭大量的例題與數值計算應用實例，並配有豐富的習題，以幫助讀者鞏固和加深理解有關內容。
　　本教材適閤理工科大學碩士研究生“數值計算”或者“數值分析”課程及數學係高年級本科生 “計算方法”課程使用，也可供相關科技人員學習參考。
　　本書編寫得到哈爾濱工程大學研究生院大力支持，在此錶示衷心的感謝．希望使用本書的廣大讀者和教師，對本書缺點和不足之處提齣批評並指正．〔1〕
　　編者2014年3月

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