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[日] 结城浩 著，管杰 译

图书标签:

• 数学
• 编程
• 计算机科学
• 算法
• 离散数学
• 数据结构
• 程序员
• 技术
• 学习
• 基础

出版社： 人民邮电出版社

ISBN：9787115293688

版次：1

商品编码：11094250

包装：平装

丛书名： 图灵程序设计丛书

开本：16开

出版时间：2012-11-01

用纸：胶版纸

页数：232

字数：264000

正文语种：中文

产品特色

编辑推荐

　　

　　如果数学不好，是否可以成为一名程序员呢？答案是肯定的。 《程序员的数学》适合：数学糟糕但又想学习编程的你
　　没有晦涩的公式，只有好玩的数学题。
　　帮你掌握编程所需的“数学思维”。
　　日文版已重印14次！

内容简介

　　《图灵程序设计丛书：程序员的数学》面向程序员介绍了编程中常用的数学知识，借以培养初级程序员的数学思维。读者无需精通编程，也无需精通数学，只需具备四则运算和乘方等基础知识，就可以阅读《程序员的数学》。　　书中讲解了二进制计数法、逻辑、余数、排列组合、递归、指数爆炸、不可解问题等许多与编程密切相关的数学方法，分析了哥尼斯堡七桥问题、高斯求和方法、汉诺塔、斐波那契数列等经典问题和算法。引导读者深入理解编程中的数学方法和思路。　　《程序员的数学》适合程序设计人员以及编程和数学爱好者阅读。

作者简介

　　结城浩（Hiroshi Yuki），生于1963年，日本专业技术作家和程序员。在编程语言、设计模式、数学、加密技术等领域，编写了很多深受欢迎的入门书。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》等。

　　管杰，毕业于复旦大学日语系。现为对日软件工程师，多年日语技术文档编写经验。爱好日汉翻译和日本文化史，译有《明解C语言：入门篇》等。

内页插图

目录

第1章 0的故事——无即是有
本章学习内容
小学一年级的回忆
10进制计数法
什么是10进制计数法
分解2503
2进制计数法
什么是2进制计数法
分解1100
基数转换
计算机中为什么采用2进制计数法
按位计数法
什么是按位计数法
不使用按位计数法的罗马数字
指数法则
10的0次方是什么
10-1是什么
规则的扩展
对20进行思考
2-1是什么
0所起的作用
0的作用：占位
0的作用：统一标准，简化规则
日常生活中的0
人类的极限和构造的发现
重温历史进程
为了超越人类的极限
本章小结

第2章 逻辑——真与假的二元世界
本章学习内容
为何逻辑如此重要
逻辑是消除歧义的工具
致对逻辑持否定意见的读者
乘车费用问题——兼顾完整性和排他性
车费规则
命题及其真假
有没有“遗漏”
有没有“重复”
画一根数轴辅助思考
注意边界值
兼顾完整性和排他性
使用if语句分解问题
逻辑的基本是两个分支
建立复杂命题
逻辑非——不是A
逻辑与——A并且B
逻辑或——A或者B
异或——A或者B（但不都满足）
相等——A和B等
蕴涵——若A则B
囊括所有了吗
德·摩根定律
德·摩根定律是什么
对偶性
卡诺图
二灯游戏
首先借助逻辑表达式进行思考
学习使用卡诺图
三灯游戏
包含未定义的逻辑
带条件的逻辑与（&&）
带条件的逻辑或（||）
三值逻辑中的否定（！）
三值逻辑的德？摩根定律
囊括所有了吗
本章小结

第3章 余数——周期性和分组
本章学习内容
星期数的思考题（1）
思考题（100天以后是星期几）
思考题答案
运用余数思考
余数的力量——将较大的数字除一次就能分组
星期数的思考题（2）
思考题（10100天以后是星期几）
提示：可以直接计算吗
思考题答案
发现规律
直观地把握规律
乘方的思考题
思考题（1234567987654321）
提示：通过试算找出规律
思考题答案
回顾：规律和余数的关系
通过黑白棋通信
思考题
提示
思考题答案
奇偶校验
奇偶校验位将数字分为两个集合
寻找恋人的思考题
思考题（寻找恋人）
提示：先试算较小的数
思考题答案
回顾
铺设草席的思考题
思考题（在房间里铺设草席）
提示：先计算一下草席数
思考题答案
回顾
一笔画的思考题
思考题（哥尼斯堡七桥问题）
提示：试算一下
提示：考虑简化一下
提示：考虑入口和出口
思考题答案
奇偶校验
本章小结

第4章 数学归纳法——如何征服无穷数列
本章学习内容
高斯求和
思考题（存钱罐里的钱）
思考一下
小高斯的解答
讨论一下小高斯的解答
归纳
数学归纳法——如何征服无穷数列
0以上的整数的断言
高斯的断言
什么是数学归纳法
试着征服无穷数列
用数学归纳法证明高斯的断言
求出奇数的和——数学归纳法实例
奇数的和
通过数学归纳法证明
图形化说明
黑白棋思考题——错误的数学归纳法
思考题（黑白棋子的颜色）
提示：不要为图所惑
思考题答案
编程和数学归纳法
通过循环表示数学归纳法
循环不变式
本章小结

第5章 排列组合——解决计数问题的方法
本章学习内容
计数——与整数的对应关系
何谓计数
注意“遗漏”和“重复”
植树问题——不要忘记0
植树问题思考题
加法法则
加法法则
乘法法则
乘法法则
置换
置换
归纳一下
思考题（扑克牌的摆法）
排列
排列
归纳一下
树形图——能够认清本质吗
组合
组合
归纳一下
置换、排列、组合的关系
思考题练习
重复组合
也要善于运用逻辑
本章小结

第6章 递归——自己定义自己
本章学习内容
汉诺塔
思考题（汉诺塔）
提示：先从小汉诺塔着手
思考题答案
求出解析式
解出汉诺塔的程序
找出递归结构
再谈阶乘
阶乘的递归定义
思考题（和的定义）
递归和归纳
斐波那契数列
思考题（不断繁殖的动物）
斐波那契数列
帕斯卡三角形
什么是帕斯卡三角形
递归定义组合数
组合的数学理论解释
递归图形
以递归形式画树
实际作图
谢尔平斯基三角形
本章小结

第7章 指数爆炸——如何解决复杂问题
本章学习内容
什么是指数爆炸
思考题（折纸问题）
指数爆炸
倍数游戏——指数爆炸引发的难题
程序的设置选项
不能认为是“有限的”就不假思索
二分法查找——利用指数爆炸进行查找
寻找犯人的思考题
提示：先思考人数较少的情况
思考题答案
找出递归结构以及递推公式
二分法查找和指数爆炸
对数——掌握指数爆炸的工具
什么是对数
对数和乘方的关系
以2为底的对数
以2为底的对数练习
对数图表
指数法则和对数
对数和计算尺
密码——利用指数爆炸加密
暴力破解法
字长和安全性的关系
如何处理指数爆炸
理解问题空间的大小
四种处理方法
本章小结

第8章 不可解问题——不可解的数、无法编写的程序
本章学习内容
反证法
什么是反证法
质数思考题
反证法的注意事项
可数
什么是可数
可数集合的例子
有没有不可数的集合
对角论证法
所有整数数列的集合是不可数的
所有实数的集合是不可数的
所有函数的集合也是不可数的
不可解问题
什么是不可解问题
存在不可解问题
思考题
停机问题
停机
处理程序的程序
什么是停机问题
停机问题的证明
写给尚未理解的读者
不可解问题有很多
本章小结

第9章 什么是程序员的数学——总结篇
本章学习内容
何为解决问题
认清模式，进行抽象化
由不擅长催生出的智慧
幻想法则
程序员的数学
……

精彩书摘

　　◎课前对话
　　老师：假设现在有一排多米诺骨牌。如何将它们全部推倒呢？
　　学生：这个简单！只要将它们排列成其中1 个一倒就能顺次带倒下一个的形状就行了。
　　老师：这样还不够喔！
　　学生：啊？为什么呢？
　　老师：因为还需要推倒第一个多米诺骨牌。
　　学生：那不是理所当然的嘛！
　　老师：正是！这样你就能理解数学归纳法的两个步骤了。
　　本章学习内容
　　本章我们要学习的是数学归纳法。数学归纳法是证明某断言对于0 以上的所有整数（0，1，2，3…）都成立的方法。整数0，1，2，3…有无穷个，但若使用数学归纳法，只需经过"2个步骤"，就能证明有关无穷的命题。
　　首先，我们以求出1 到100 之和为例介绍数学归纳法。接着会穿插几道思考题来看一下数学归纳法的具体实例。最后，我们会讨论数学归纳法和编程的关系，一起了解一下循环不变式。
　　高斯求和
　　思考题（存钱罐里的钱）
　　思考题（存钱罐里的钱）
　　在你面前有一个空存钱罐。
　　第1 天，往存钱罐里投入1 元。存钱罐中总金额为1 元。
　　第2 天，往存钱罐里投入2 元。存钱罐中总金额为1 + 2 = 3 元
　　第3 天，往存钱罐里投入3 元。存钱罐中总金额为1 + 2 + 3 = 6 元
　　第4 天，往存钱罐里投入4 元。存钱罐中总金额为1 + 2 + 3 + 4 = 10 元
　　那么，每天都这样往存钱罐里投入硬币的话，第100 天时的总金额为多少呢？
　　思考一下
　　本题要求算出第100 天时存钱罐的总金额。要求出第100 天的金额，只要计算1 + 2 + 3+ … + 100 的值就行了。那么，具体应如何计算呢？
　　一般来说，最先想到的肯定是机械地将它们逐个相加。1 加2，再加3，再加4，…再加99，再加100。只要这样加起来就能得出答案了吧。如果说笔算比较花时间的话，也可以使用计算器或编程来计算。
　　不过，德国数学家高斯在9 岁时遇到了同样的问题，却马上得出了答案。当时他既没用计算器也没用电脑。那么，他究竟是如何做到的呢？
　　小高斯的解答
　　小高斯是这么考虑的。
　　1 + 2 + 3 + …+ 100 顺次计算的结果和100 + 99 + 98 + …+ 1 逆向计算的结果应该是相等的。那么，就将这两串数字像下面那样纵向地相加。
　　如此一来，就变成了101 + 101 + 101 + …+ 101 那样100 个101 相加的结果。这样的计算就非常简单了。只要将101 乘以100 即可，结果为10100。不过10100 是要求的数的2 倍，因此还得除以2，答案为5050。
　　答案：5050 元。
　　讨论一下小高斯的解答
　　小高斯的方法可谓绝妙非凡!
　　为了便于大家理解，我们将高斯的方法用图来表示。求1 + 2 + 3 + …+ 100 的结果，相当于计算图4-1 所示的排列成阶梯型的瓷砖块数。
　　图4-1 将高斯的方法图形化
　　高斯则又做了一个一模一样的阶梯，并将两者合二为一，组成了一个长方形。
　　图4-2 将2个阶梯组合成1个长方形
　　由2 个阶梯组合而成的长方形，纵向有101 块瓷砖，横向有100 块瓷砖。因此，该长方形由101×100 = 10100 块瓷砖构成。而所求的瓷砖块数就是10100 的一半，即5050。
　　我们来说一说高斯的计算效率。使用他的方法不需要花费力气逐个相加。只要将两端的1 和100 相加，结果乘以100 再除以2 就行了。
　　现在，假设我们不是从1 加到100，而是从1 加到10000000000（100 亿）。这次我们就不能采用逐一相加的方法了。因为即使计算器1 秒能完成1 次加法计算，加到100 亿也得花300 年以上的时间。
　　不过，如果使用高斯的方法，那么从1 加到100 亿也只要1 次加法、1 次乘法、1 次除法运算即可完事。我们来实际计算一下。
　　高斯（Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1855）后来成为了历史上著名的数学家。
　　归纳
　　高斯运用了以下等式。
　　这里，使用变量n，将"1 到100"归纳为"1 到n"。这样，上面的等式就变为如下形式
　　那么，这个等式对于0 以上的任意整数n 都成立吗？即n 为100、200，或者100 万、100 亿时该等式也都成立吗？如果成立的话，又如何来证明呢？
　　这种时候就要用到数学归纳法了。数学归纳法是证明"断言对于0 以上的所有整数n都成立"的方法。
　　学生："对于所有整数n"，总觉得这种说法别扭。
　　老师：别扭？
　　学生：会感觉头脑中充满了整数。
　　老师：那么，改为"对于任一整数n"怎么样？
　　学生：啊！那样感觉稍微舒服些。
　　老师：其实说的是一回事呢！
　　数学归纳法-- 如何征服无穷数列
　　本节，我们就来讨论一下数学归纳法的相关内容。首先，从"0 以上的整数的断言"开始学起，然后使用数学归纳法来证明高斯的断言 。
　　0以上的整数的断言
　　0 以上的整数n 的断言"，就是能够判定0，1，2…等各个整数为"真"或"假"的断言。这样说明或许难以理解，下面就举几个例子。.
　　● 例1
　　o 断言A (n ) ：n ×2 为偶数。
　　A(n)，即"n×2 为偶数"的断言。由于n 为0 时，0×2 = 0 为偶数，所以A(0) 为真。
　　A(1) 又怎么样呢？因为1×2 = 2 为偶数，所以A(1) 也为真。
　　那是否可以说断言A(n)，对于0 以上的所有整数n 都为真（对于0 以上的任意整数n都成立）呢？
　　对！可以这么说。因为0 以上的任意整数乘以2 的结果都为偶数，所以对于0 以上的所有整数，断言A(n) 都为真。
　　● 例2
　　o 断言B (n ) ：n ×3 为奇数
　　那么，断言B(n) 又将如何呢？该断言对于0 以上的所有整数n 都成立吗？
　　例如，假设n 为1，则断言B(1) 就是"1×3 为奇数"，这个结果为真。但不能说对于0以上的所有整数n，断言B(n) 都为真。因为假设n 为2，则n×3 的值为2×3 = 6。而6 是偶数，所以断言B(2) 不为真（为假）。
　　n = 2 是推翻"断言B(n) 对于0 以上的所有整数n 都成立"的反例。
　　● 其他例子
　　那么请思考一下，在下面4 个断言中，对于0 以上的所有整数n 都成立的有哪些。
　　o 断言C (n ) ：n +1 为 0 以上的整数。
　　o 断言D (n ) ：n -1 为 0 以上的整数。
　　o 断言E (n ) ：n ×2 为 0 以上的整数。
　　o 断言F (n ) ：n ÷2 为 0 以上的整数。
　　断言C(n)，对于0 以上的所有整数n 都成立。因为若n 为0 以上的整数，则n + 1 肯定是0 以上的整数。
　　断言D(n)，对于0 以上的所有整数n 不成立。例如，断言D(0) 为假。因为0 -1 = -1，不是0 以上的整数。n = 0 是唯一的反例。
　　断言E(n)，对于0 以上的所有整数n 都成立。
　　断言F(n)，对于0 以上的所有整数n 不成立。因为当n 为奇数时，n÷2 的结果不是整数。
　　高斯的断言
　　在讨论了" 0 以上的整数n 的断言"之后， 我们将话题转回高斯的断言。
　　可以使用下述有关n 的断言形式来表现高斯的观点。
　　o 断言G(n) ：0 到n 的整数之和为 。
　　接下来要证明的是，"G(n) 对于0 以上的所有整数n 都成立"。可以通过描画前面的阶梯状的图（图4-1）来证明，但是有人可能会有这样的疑问：0 以上的整数有0, 1, 2, 3，…等无穷个数字，而图中表现的只是其中一种情况。 当G(1000000) 时也成立吗？
　　确实，0 以上的整数有无穷个。这就要通过引入"数学归纳法"来证明了。使用数学归纳法能够进行0 以上的所有整数的相关证明。
　　什么是数学归纳法
　　数学归纳法是证明有关整数的断言对于0 以上的所有整数（0、1、2、3…）是否成立时所用的方法。
　　假设现在要用数学归纳法来证明"断言P（n）对于0 以上的所有整数n 都成立"。
　　数学归纳法要经过以下两个步骤进行证明。这是本章的核心内容，请大家仔细阅读。
　　o 步骤1 ：
　　证明"P (0) 成立"。
　　o 步骤2 ：
　　证明不论k 为0 以上的哪个整数，"若P (k ) 成立，则P (k +1) 也成立"
　　在步骤1 中，要证明当k 为0 时断言P(0) 成立。我们将步骤1 称作基底（base）。
　　在步骤2 中，要证明无论k 为0 以上的哪个整数，"若P( k ) 成立，则P (k+1) 也成立"。
　　我们将步骤2 称作归纳(induction)。该步骤证明断言若对于0 以上的某个整数成立，则对于下一个整数也成立。
　　若步骤1 和步骤2 都能得到证明，就证明了"断言P (n) 对于0 以上的所有整数n 都成立"。
　　以上就是数学归纳法的证明方法。
　　试着征服无穷数列
　　数学归纳法通过步骤1（基底）和步骤2（归纳）两个步骤，证明断言P(n) 对于0 以上的所有整数n 都成立。
　　为什么只通过两个步骤的证明，就能证明无穷的n 呢？请作如下思考。
　　o 断言P (0) 成立。
　　理由：步骤1 中已经证明。
　　o 断言P (1) 成立。
　　理由：P (0) 已经成立，并且步骤2 中已证明若P (0) 成立，则P (1) 也成立。
　　o 断言P (2) 成立。
　　理由：P (1) 已经成立，并且步骤2 中已证明若P (1) 成立，则P (2) 也成立。
　　o 断言P (3) 成立。
　　理由：P (2) 已经成立，并且步骤2 中已证明若P (2) 成立，则P (3) 也成立。
　　这样循环往复，可以说断言P(n) 对于任意数字n 都成立。无论n 为多大的数字都没关系。因为即使设n 为10000000000000000，经过机械式地反复执行步骤2，终究可以证明P（10000000000000000）成立。
　　这种数学归纳法的思路可以比喻为"推倒多米诺骨牌"。
　　假设现在有很多多米诺骨牌排成一列。只要保证以下两个步骤，那么无论多米诺骨牌排得有多长最终都能倒下。
　　o 步骤1
　　确保让第0 个多米诺骨牌（排头的多米诺骨牌）倒下。
　　o 步骤2
　　确保只要推倒第k 个多米诺骨牌，那么第k + 1 个多米诺骨牌也会倒下。推倒多米诺骨牌的两个步骤和数学归纳法的两个步骤一一对应。
　　数学归纳法并不像"推倒多米诺骨牌"那样关注用时。数学归纳法和编程不同，往往使用的是忽略时间的方法。这就是数学和编程之间最大的差异。
　　用数学归纳法证明高斯的断言
　　下面我们就以证明高斯的断言G(n) 为例具体看看数学归纳法。首先讨论断言G(n)。
　　o 断言G(n) ：0 到n 的整数之和与 相等。
　　使用数学归纳法就需要通过步骤1（基底）和步骤2（归纳）来证明。
　　● 步骤1 ：基底的证明
　　证明G(0) 成立。
　　G(0) 就是"0 到0 的整数之和与 相等"。
　　这可以通过直接计算证明。0 到0 的整数之和是0，
　　至此，步骤1 证明完毕。
　　● 步骤2 ：归纳的证明
　　证明当k 为0 以上的任一整数时，"若G(k) 成立，则G(k + 1) 也成立"
　　现假设G(k) 成立。即假设"0 到k 的整数之和与 相等"。这时，以下等式成立。
　　假设成立的等式G(k)
　　下面，我们来证明G(k + 1) 成立。
　　要证明的等式G(k+1)
　　G(k + 1) 的左边使用假设的等式G(k) 可以进行如下计算。
　　而G(k + 1)的右边可以进行如下计算。
　　G(k + 1) 的左边和右边的计算结果相同。
　　由此，从G(k) 到G(k + 1) 推导成功，步骤2 得到了证明。
　　至此，通过数学归纳法的步骤1 和步骤2 都证明了断言G(n)。也就是说通过数学归纳法证明了断言G(n) 对于0 以上的任意整数n 都成立。
　　求出奇数的和--数学归纳法实例
　　本节，我们使用数学归纳法来证明另一个断言。
　　奇数的和
　　请证明以下断言Q(n) 对于1 以上的所有整数n 都成立。
　　o 断言Q (n ) ：1 + 3 + 5 + 7 + … +（2 × n -1） = n2
　　Q(n) 是比较有意思的断言。按从小到大的顺序将n 个奇数相加，得到n2，即平方数n ×n。
　　这对吗？在证明之前，先通过较小的数n = 1、2、3、4、5 判断Q(n) 的真假。
　　o 断言Q (1) ：1 = 12
　　o 断言Q (2) ：1 + 3 = 22
　　o 断言Q (3) ：1 + 3 + 5 = 32
　　o 断言Q (4) ：1 + 3 + 5 + 7 = 42
　　o 断言Q (5) ：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
　　通过以上计算发现断言确实是成立的。
　　……

前言/序言

　　 大家好！我是结城浩。欢迎阅读《程序员的数学》。
　　 本书是为程序员朋友们写的数学书。编程的基础是计算机科学，而计算机科学的基础是数学。因此，学习数学有助于巩固编程的基础，写出健壮的程序。有的读者可能会说“但我数学不好啊”。特别是很多读者“一碰到算式就跳过不读”。坦率而言，我自己遇到书中的算式也想跳过不看。本书尽可能减少了“大家不想看的算式”，也没有过多的定义、定理和证明。这是为帮助程序员更容易理解编程而写的书。希望你能通过本书学到有助于编程的“数学思维”。
　　 数学思维示例
　　 学习“数学思维”说起来太抽象了，我们来举些具体的例子。
　　 【条件分支和逻辑】
　　 在编程时，我们按照条件将处理方法分为多个“分支”。C 语言和Java 语言中使用的是if 语句。处理方法为： 当满足条件时执行这条语句，不满足条件时执行另一语句。这时，我们就使用了数学领域的“逻辑”来控制程序。因此，编程时必须熟练掌握“ 与”“、或”“、非”、“蕴涵”等逻辑构成元素。
　　 【循环和数学归纳法】
　　 我们在处理大量的信息时，使用程序进行“循环”操作。比如使用for 语句可以循环处理大量数据。循环中使用的就是“数学归纳法”。
　　 【分类和计数方法】
　　 在将许多条件和数据“分类”时，程序员必须注意不能有遗漏。这时加法法则、乘法法则、排列、组合等“计数方法”将助你一臂之力。这是程序员应该熟记于心的数学工具。通过本书，也可以学到递归、指数、对数、余数等重要的基础思维方式。
　　 人类和计算机的共同战线
　　 我们写程序是为了解决人类解决不了的问题。程序员理解问题，编写程序；计算机运行程序，解决问题。人类不擅长重复劳动，很容易厌倦，有时还会出错，但人类擅长解决问题。与此相对，计算机擅长重复劳动，但不能自行解决问题。于是，人机合力，如虎添翼。遇到难题，光靠人类不能解决，光靠计算机也不能解决。而人机合力就能解决问题。这也是本书要传达的主旨之一。不过，编写程序也非易事，无论人类和计算机如何齐心合力，总有解决不了的问题。本书也对人类和计算机的极限进行了分析。希望你在读完本书后能对以程序为媒介的人机合作有更深刻的理解。
　　 本书面向的读者
　　 本书主要面向的读者是程序员。不过若你对编程或数学感兴趣，读起来也会一样有意思。你不需要精通数学。书中不会出现Σ和等很难的算式，因此自认为数学不太好的读者也完全可以阅读。阅读本书只需具备四则运算（＋－ ×÷）和乘方（23=2×2×2）等基础知识。除此以外的知识在书中皆有说明。
　　 如果你对数字和逻辑感兴趣，可能会更喜欢本书。你也不需要精通编程。不过如果稍有一些编程经验，可能会更容易理解本书内容。书中有个别例子是用C 语言写的程序，不过即使不懂C 语言也不妨碍理解。
　　 本书结构
　　 本书各章内容可以按任意顺序阅读，但笔者推荐从第1 章开始按顺序阅读。第1 章对0 进行讨论。以按位计数法为核心，学习如何用0 来简化规则，并对“无即是有”的意义进行了思考。
　　 第2 章学习使用逻辑来整理繁琐的内容。介绍逻辑表达式、真值表、德·摩根定律、三值逻辑、卡诺图等。
　　 第3 章讨论余数。我们要记住“余数就是分组”的观点。对于一些难题，有时只要找到周期性规律就能解决。
　　 第4 章学习数学归纳法。数学归纳法只需要两个步骤就能证明无穷的断言。本章还会举例介绍使用循环不变式写出正确的循环。
　　 第5 章学习排列组合等计数方法。计数的关键在于“认清对象的性质”。
　　 第6 章学习自己定义自己的递归。通过汉诺塔、斐波那契数列、分形图形等，练习从复杂事物中发现递归结构。
　　 第7 章学习指数爆炸。计算机也很难解决含有指数爆炸的问题。我们将在这里思考研究如何将指数爆炸为我所用，解决大型问题。另外本章还将以二分法检索为例，学习将问题空间一分为二的意义。
　　 第8 章以停机问题为例，来说明许多程序上的问题是计算机如何发展都解决不了的。本章也会学到反证法和对角论证法。
　　 第9 章回顾本书学习内容，思考人类全面把握结构的能力对解决问题有多大帮助，以及人机协作具有何种意义。
　　 致谢
　　 首先要感谢马丁·伽德纳。小时候我痴迷于阅读您所著的《数学游戏》，至今仍记忆犹新。此外，还要感谢支持我的广大读者和为我祈祷的基督教朋友们。以下各位为本书提出了宝贵建议并给予了极大帮助，在此深表谢意（按日语五十音图顺序）：天野胜、石井胜、岩泽正树、上原隆平、佐藤勇纪、武笠夏子、前原正英、三宅喜义。特别感谢在本书编写过程中给予我极大关怀和支持的SoftBank 出版有限公司的野泽喜美男主编。
　　 感谢一直鼓励我的爱妻和两个儿子。
　　 本书献给在餐桌上教我方程式乃至微积分的父亲。父亲，谢谢您！
　　 2005 年2 月
　　 结城 浩

《算法的奥秘：数据结构与效率的进阶之旅》 序言 在这个信息爆炸的时代，计算的效率和数据的组织方式直接决定了我们解决问题的能力和技术的边界。从微小的嵌入式系统到庞大的云计算平台，算法和数据结构的精妙设计是驱动一切的基石。本书并非关于那些抽象的数学概念本身，而是聚焦于如何将数学思维转化为切实可行的代码，如何用最优雅、最高效的方式处理海量数据，以及如何在每一次计算中榨取极致的性能。《算法的奥秘》将带领您踏上一段深入探索算法世界、理解数据结构精髓的旅程，旨在为每一位有志于提升编程技艺的开发者提供一套扎实、实用的理论框架和实践指导。 第一部分：算法的基石——理解效率的衡量 在计算机科学的浩瀚星空中，算法是闪耀的星辰，指引我们走向解决方案的光明。然而，并非所有算法都具有同等的价值。理解算法的效率，是选择最优解的关键。本部分将深入剖析算法效率的衡量标准，让你告别“差不多就行”的编程思维，走向严谨和精确。 时间复杂度与空间复杂度：性能的双刃剑 我们首先要建立一套统一的语言来描述算法的性能，这便是“复杂度分析”。本书将详细讲解大O符号（O-notation）的含义，它并非一个精确的数值，而是描述算法运行时间或所需空间随输入规模增长的趋势。我们将通过大量的实例，从最简单的线性搜索、二分搜索，到更复杂的递归和分治算法，逐步揭示不同复杂度等级的含义。例如，O(1)的常数时间复杂度意味着无论输入多大，操作都可以在恒定时间内完成，这是我们追求的极致。O(n)的线性时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模成正比，在许多场景下仍是高效的。而O(n log n)的对数线性时间复杂度，则代表了许多排序算法的优秀表现。 空间复杂度同样至关重要。一个算法可能在时间上非常快，但需要消耗海量的内存，这在资源受限的环境下是不可接受的。我们将分析递归深度带来的栈空间开销，以及各种数据结构存储数据所需的空间。通过比较不同算法的时间和空间复杂度，你将学会如何在两者之间做出权衡，找到最适合特定应用场景的解决方案。 渐进分析与最坏、最好、平均情况 我们关注的并非算法在极小输入规模下的表现，而是它在大规模输入下的“渐进”行为。这就像预测一个火车的速度，我们更关心它在长途运行中的平均速度，而不是刚启动时的瞬时加速。本书将深入讲解为什么渐进分析是衡量算法优劣的根本。 同时，我们将区分算法在不同输入情况下的表现：最好情况（Best Case）、最坏情况（Worst Case）和平均情况（Average Case）。例如，对于简单的线性搜索，最好情况是目标元素就在数组的第一个位置（O(1)），最坏情况是目标元素在数组的最后一个位置或不存在（O(n)）。理解这些不同情况，能帮助我们更全面地评估算法的健壮性和适用范围。平均情况的分析通常更为复杂，需要引入概率论的思想，本书也将为此打下基础。 常数因子与实际性能考量 虽然大O符号忽略了常数因子，但在实际工程中，这些因子有时会影响最终的性能。本书将探讨何时需要关注常数因子，例如，某些算法虽然同为O(n)，但一个算法的常数因子可能是另一个的百倍。我们将引导读者思考，在特定硬件平台和实际负载下，哪些优化是真正有效的。这包括缓存局部性、指令集效率等更底层的因素，让你的算法分析更贴近现实。 第二部分：数据组织的艺术——高效的数据结构 算法的运行离不开数据的支撑，而数据结构的优劣直接决定了算法能否高效地访问、修改和组织数据。《算法的奥秘》将带领你深入理解各种经典数据结构的内部机制，以及它们在不同场景下的适用性，让你掌握数据组织的核心艺术。 线性数据结构：数组、链表、栈与队列的精妙 数组（Array）与动态数组（ArrayList/Vector）：我们从最基本、最熟悉的数组开始，理解其连续内存存储带来的快速随机访问优势，以及在插入和删除操作时的潜在成本。我们将分析动态数组（如Java的ArrayList或C++的std::vector）如何通过动态扩容来平衡插入效率和内存开销，并探讨其扩容策略的优劣。 链表（Linked List）：单向链表、双向链表和循环链表，它们提供了在任意位置进行高效插入和删除的能力，弥补了数组的不足。本书将深入解析指针的运用，以及链表在内存分配上的灵活性。我们将对比数组和链表在不同操作上的时间复杂度，让你明晰何时应该选择链表。 栈（Stack）：遵循“后进先出”（LIFO）原则的栈，是函数调用栈、表达式求值等诸多场景的核心。我们将讲解基于数组和链表实现的栈，并分析其操作的O(1)时间复杂度。 队列（Queue）：遵循“先进先出”（FIFO）原则的队列，在任务调度、广度优先搜索等领域扮演着重要角色。本书将介绍线性队列、循环队列，以及它们在内存使用和操作效率上的不同。 非线性数据结构：树、图与哈希表的强大 树（Tree）： 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）：掌握其查找、插入、删除的O(log n)平均时间复杂度，同时也要理解其在最坏情况下退化成链表（O(n)）的问题。 平衡二叉搜索树（Balanced BST）：AVL树、红黑树（Red-Black Tree）等，它们通过自平衡机制保证了查找、插入、删除操作始终维持O(log n)的时间复杂度，是实现高效动态集合的关键。本书将深入剖析红黑树的平衡规则和插入/删除后的调整过程，理解其精妙设计。 堆（Heap）：最小堆和最大堆，它们提供了高效获取最大/最小元素（O(1)）以及插入/删除元素（O(log n)）的能力，是优先队列（Priority Queue）的常见实现方式。我们将讲解堆的二叉树结构及其数组表示的便利性。 图（Graph）：表示实体之间关系的强大工具。本书将介绍图的邻接矩阵和邻接表两种表示方法，并探讨它们在存储空间和遍历效率上的权衡。我们将为后续的图算法打下坚实的基础。 哈希表（Hash Table）：通过哈希函数将键映射到数组索引，实现平均O(1)的查找、插入和删除操作。本书将深入讲解哈希函数的选择原则、冲突处理方法（如链地址法、开放寻址法）以及其在实际应用中的广泛性。 Trie（前缀树）与B树 Trie（前缀树）：一种专门用于存储字符串的树形数据结构，在字符串查找、自动补全等场景下表现出色。我们将展示Trie如何通过共享前缀来高效存储和查询字符串集合。 B树与B+树：多路查找树，广泛应用于数据库和文件系统，它们能够有效地减少磁盘I/O次数，提升大型数据集的访问效率。我们将分析B树的结构特性，理解其在平衡查找效率和存储密度的作用。 第三部分：算法设计范式——解决问题的通用策略 掌握了算法效率的衡量标准和数据结构的精髓，我们还需要学习解决问题的通用设计范式。《算法的奥秘》将引领你领略各种经典的算法设计思想，让你能够以更宏观的视角去思考和构建高效的解决方案。 分治法（Divide and Conquer）：将一个大问题分解成若干个相互独立且相似的子问题，分别解决子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解。我们将通过经典的归并排序（Merge Sort）、快速排序（Quick Sort）和矩阵乘法（如Strassen算法）来阐述分治法的威力。 动态规划（Dynamic Programming, DP）：当一个问题可以分解成重叠的子问题，并且最优子结构性质存在时，动态规划就能够大显身手。本书将通过斐波那契数列、背包问题（Knapsack Problem）、最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）等经典问题，深入讲解动态规划的“状态定义”、“状态转移方程”和“填表法/记忆化搜索”等核心思想，让你掌握如何避免重复计算，实现高效求解。 贪心算法（Greedy Algorithm）：在每一步选择当前看起来最优的方案，从而期望得到全局最优解。我们将通过活动选择问题（Activity Selection Problem）、霍夫曼编码（Huffman Coding）和最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）算法（如Prim算法和Kruskal算法）来展示贪心算法的应用，并分析其何时能够保证得到最优解。 回溯法（Backtracking）：一种系统地搜索问题的解的搜索算法。当搜索到某一步时，如果发现当前路径不可能得到解，就“回溯”到上一步，尝试其他路径。我们将通过N皇后问题、数独求解等问题来演示回溯法的搜索过程，理解其深度优先搜索（DFS）的特性。 分支限界法（Branch and Bound）：与回溯法类似，但增加了“限界”的概念，通过评估当前搜索节点的上下界来剪枝，从而更有效地缩小搜索空间。本书将简要介绍分支限界法的思想，并与回溯法进行对比。 第四部分：图论算法的探索——连接与路径的奥秘 图论是计算机科学中一个极其重要的分支，它为我们理解和分析网络、关系以及结构提供了强大的工具。《算法的奥秘》将深入图论的核心，为你揭示图算法的精妙之处。 图的遍历：深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS） DFS：通过递归或栈实现，沿着图的深度方向探索。我们将分析DFS在连通性判断、拓扑排序、寻找回路等问题上的应用。 BFS：通过队列实现，一层一层地探索图。我们将讲解BFS在最短路径（无权图）、连通分量查找等问题上的优势。 最短路径算法 Dijkstra算法：用于求解单源最短路径（边权重非负）。我们将详细解析Dijkstra算法的贪心策略，以及如何使用优先队列优化其效率。 Bellman-Ford算法：用于求解单源最短路径，能够处理边权重为负的情况，并且能检测负权回路。 Floyd-Warshall算法：用于求解所有顶点对之间的最短路径，是一种动态规划的应用。 最小生成树（MST）：在连通的无权无向图中，找到一棵连接所有顶点且边权之和最小的树。我们将深入解析Prim算法和Kruskal算法的工作原理，理解它们如何构建最小生成树。 拓扑排序（Topological Sort）：对于有向无环图（DAG），找到一种线性排序，使得对于图中任意一条有向边 (u, v)，u 都在 v 之前。我们将介绍基于DFS和BFS的拓扑排序方法，并分析其在任务调度等实际问题中的应用。 结语 《算法的奥秘：数据结构与效率的进阶之旅》不仅仅是一本技术手册，更是一份对计算智慧的致敬。通过对本书内容的学习和实践，你将不仅仅是编写代码的“码农”，更能成为理解问题本质、设计高效解决方案的“工程师”。我们鼓励读者在阅读过程中，勤于思考，勇于实践，将书中的知识内化为自己的能力，在编程的道路上不断前行，发掘属于自己的“算法奥秘”。

评分☆☆☆☆☆

第一段评价 捧起《程序员的数学》，我心里就涌起一股莫名的期待。作为一个入了行几年的程序员，我深知理论基础的重要性，而数学，恰恰是支撑起无数高效算法和优化策略的基石。这本书的标题直接击中了我痛点，仿佛是一盏指路明灯，照亮了我一直想深入但又无从下手的领域。我脑海中勾勒出的画面是，一本严谨又不失趣味的教材，它不会像大学课本那样枯燥乏味，而是用生动的例子和清晰的逻辑，将复杂的数学概念一一拆解，让我能够融会贯通。我期待它能帮助我理解那些隐藏在框架和库背后的数学原理，比如图论在网络优化中的应用，线性代数在图形渲染中的魔力，概率论在机器学习中的预测能力。我渴望通过这本书，能让我的代码不仅仅是功能的实现，更能蕴含着优雅的数学之美，写出更具性能和可扩展性的程序。这不仅仅是一本书，更像是我职业生涯中一次重要的“能力升级”，我迫不及待地想进入书中的世界，与那些伟大的数学思想来一场深入的对话。

评分☆☆☆☆☆

第五段评价 《程序员的数学》这本书，简直是我一直以来寻找的“宝藏”。作为一个程序员，我常常会遇到一些需要严谨逻辑和精确计算的场景，比如在开发游戏引擎时处理3D图形变换，或者在设计分布式系统时分析并发冲突的可能性。而这些，都离不开数学的支持。我一直觉得，如果只停留在“知其然”的层面，很难在技术上取得突破。这本书的出现，正好弥补了我在这方面的知识短板。我非常期待它能够用通俗易懂的方式，讲解那些我曾经在大学里一知半解的数学概念，并将其与实际的编程任务紧密结合。我希望它能提供一些关于线性代数在计算机图形学中的具体应用，比如矩阵变换、向量运算等，让我能够理解计算机是如何绘制出逼真的三维世界的。我也期待它能在概率论和统计学方面，给我带来一些启发，让我能够更好地理解数据，进行有效的预测和建模。这本书，对我来说，不仅仅是一本技术书籍，更像是一把钥匙，能够帮助我解锁更多高级的编程技能，让我能够用更扎实的理论基础去解决更复杂、更具挑战性的问题。

评分☆☆☆☆☆

第二段评价 拿到《程序员的数学》这本书，我的第一感觉是它非常厚实，拿在手里沉甸甸的，这让我对其中内容的深度和广度充满了信心。我一直觉得，作为一个程序员，如果只停留在API的调用和框架的使用上，就如同只看到了大厦的外观，而没有了解其坚固的地基。数学，无疑就是构建这些地基的关键要素。这本书的封面设计简洁大气，没有花哨的装饰，反而透着一股沉稳的书卷气，这让我对它的内容更加肃然起敬。我希望它能够像一位循循善诱的老师，能够将那些看似高深的数学概念，转化为我这个普通程序员能够理解和应用的语言。我期待它能够涵盖从基础的离散数学，到更高级的微积分、概率统计，甚至是涉及一些优化理论的内容。我希望它能在每一个章节都提供足够多的实际编程案例，让我能够立刻将学到的知识应用到我的日常开发中，去解决那些曾经困扰我的性能瓶颈，去设计那些更巧妙的数据结构。我渴望通过这本书，能够真正提升我的编程思维，让我能够从更本质的层面去理解和解决问题，写出更具“技术含量”的代码。

评分☆☆☆☆☆

第四段评价 我拿到《程序员的数学》时，心中充满了一种“终于等到你”的喜悦。作为一名正在努力提升自己技术栈的开发者，我常常在面对一些复杂的算法问题时感到力不从心，总觉得缺了点什么。很多时候，我都能通过查阅资料或者模仿别人的代码来解决问题，但这种“治标不治本”的方式让我感到不安。我相信，数学是计算机科学的底层语言，掌握了它，才能真正理解许多技术背后的原理，才能写出更具创造性的代码。我希望这本书能为我打开一扇通往更深层次理解的大门。我期待它能详细讲解离散数学中的一些核心概念，例如集合论、图论、组合数学等，并且能告诉我这些概念是如何在实际的编程场景中发挥作用的，比如如何用图论来解决路径查找问题，如何用组合数学来计算排列组合。我也希望书中能涉及一些关于数据结构和算法的数学分析，让我能够更清晰地理解不同算法的优劣，从而做出更明智的选择。这本书，我将它视为一次自我投资，相信通过深入学习，我能够从一个“代码搬运工”蜕变为一个真正的“工程师”。

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第三段评价 《程序员的数学》这本书，就像我在漫漫编程之路上遇到的一位良师益友。我一直对那些能够写出高性能、高并发、高可用性系统的“大神”们心生敬佩，深知他们背后一定有着扎实的数学功底。而我，总感觉自己像是在“搬砖”，虽然也能完成任务，但总觉得少了些“灵魂”。这本书的到来，仿佛点醒了我，让我意识到，想要成为一名更优秀的程序员，数学是绕不过去的一道坎。我特别期待它能在逻辑和算法分析方面，给我带来耳目一新的启发。比如说，理解算法的时间复杂度和空间复杂度，除了背诵一些公式，如果能从数学原理上理解，那将是完全不同的境界。我希望书中能有关于证明的章节，哪怕是简单的证明，也能帮助我理解逻辑的严谨性。我也期待它能涉及一些概率论在数据分析和算法设计中的应用，比如蒙特卡洛方法，或者贝叶斯定理在模式识别中的作用。这本书，对我来说，不仅仅是学习知识，更是为了打通我编程思维的“任督二脉”，让我能够从更高的维度去审视我的代码，写出真正优雅、高效的解决方案。

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不得不说日本的教育很唯美，简洁明了

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苦逼的程序员，需要不停的看书学习

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京东的配送还是一如既往的快，现在在京东购物也就只为物流快这个理由吧！唉京东啊！

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书挺好的看上去很新，物流速度很快毕竟京东

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讲解的很简单啊……容易理解咯……

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还没看，好像还不错

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好好好好好好好好好好好好

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有点意思的书

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