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張恭慶 著

圖書標籤:

• 變分學
• 數學分析
• 微積分
• 優化
• 泛函分析
• 高等數學
• 理論物理
• 應用數學
• 數學教材
• 經典教材

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040319583

版次：1

商品編碼：10706586

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎

開本：16開

齣版時間：2011-06-01

頁數：319

正文語種：中文

內容簡介

　　 變分學是數學分析的一個重要組成部分，是一門與其他數學分支密切聯係、並有廣泛應用的數學學科。近幾十年來，變分學不論是在理論上還是在應用中都有瞭很大發展，與數學其他分支的聯係也更加緊密，已經成為大學數學教育不可缺少的部分。
　　 《變分學講義》是作者在北京大學為高年級本科生和低年級研究生開設“變分學”課程所用的講義。全書共二十講，分為三大部分：第一部分（一到八講）是經典變分學的基本內容，第二部分（九到十四講）重點介紹直接方法及其理論基礎，第三部分（十五到二十講）是專題選講。其材料的選取，內容的編排，問題與概念的錶述，以及證明的分析與講解均極具特色。
　　 《變分學講義》適用於數學及相關專業的本科生、研究生、教師以及研究人員，也可供工科、經濟學、管理學等專業的教師和學生使用參考。

內頁插圖

目錄

前言
第一講 變分學與變分問題
§1.1 前言
§1.2 泛函
§1.3 典型例子
§1.4 進一步的例子

第二講 euler-lagrange方程
§2.1 函數極值必要條件之迴顧
§2.2 euler-lagrange方程的推導
§2.3 邊值條件
§2.4 求解euler-lagrange方程的例子

第三講 泛函極值的必要條件與充分條件
§3.1 函數極值的再迴顧
§3.2 二階變分
§3.3 legendre-hadamard條件
§3.4 jacobi場
§3.5 共軛點

第四講 強極小與極值場
§4.1 強極小與弱極小
§4.2 強極小值的必要條件與weierstrass過度函數
§4.3 極值場與強極小值
§4.4 mayer場，hilbert不變積分
§4.5 強極小值的充分條件
§4.6 定理4.4 的證明（n]1的情形）

第五講 hamilton-jacobi理論
§5.1 程函與carath eodory方程組
§5.2 legendre變換
§5.3 hamilton方程組
§5.4 hamilton-jacobi方程
§5.5 jacobi定理

第六講 含多重積分的變分問題
§6.1 euler-lagrange方程的推導
§6.2 邊值條件
§6.3 二階變分
§6.4 jacobi場

第七講 約束極值問題
§7.1 等周問題
§7.2 逐點約束
§7.3 變分不等式

第八講 守恒律與noether定理
§8.1 單參數微分同胚與noether定理
§8.2 能動張量與noether定理
§8.3 內極小
§8.4 應用

第九講 直接方法
§9.1 dirichlet原理與極小化方法
§9.2 弱收斂與弱收斂
§9.3 弱列緊性
§9.4 自反空間與eberlein-schmulyan定理

第十講 sobolev空間
§10.1 廣義導數
§10.2 空間wm，p（ω）
§10.3 泛函錶示
§10.4 光滑化算子
§10.5 sobolev空間的重要性質與嵌入定理
§10.6 euler-lagrange方程

第十一講 弱下半連續性
§11.1 凸集與凸函數
§11.2 凸性與弱下半連續性
§11.3 一個存在性定理
§11.4 擬凸性

第十二講 綫性微分方程的邊值問題與特徵值問題
§12.1 綫性邊值問題與正交投影
§12.2 特徵值問題
§12.3 特徵展開
§12.4 特徵值的極小極大刻畫

第十三講 存在性與正則性
§13.1 正則性（n=1）
§13.2 正則性續（n]1）
§13.3 幾個變分問題的求解
§13.4 變分學的局限

第十四講 對偶作用原理與ekeland變分原理
§14.1 凸函數的共軛函數
§14.2 對偶作用原理
§14.3 ekeland變分原理
§14.4 fr'echet導數與palais-smale條件
§14.5 nehari技巧
第十五講 山路定理及其推廣與應用
§15.1 山路（mountainpass）定理
§15.2 應用

第十六講 周期解、異宿軌與同宿軌
§16.1 問題
§16.2 周期解
§16.3 異宿軌
§16.4 同宿軌

第十七講 測地綫與極小麯麵
§17.1 測地綫
§17.2 極小麯麵

第十八講 變分問題的數值方法
§18.1 ritz方法
§18.2 有限元
§18.3 cea定理
§18.4 最優化方法——共軛梯度法

第十九講 最優控製問題
§19.1 問題的提法
§19.2 pontryagin極大值原理
§19.3 bang-bang原理

第二十講 有界變差函數與圖像恢復
§20.1 一元有界變差函數的迴顧
§20.2 多元有界變差函數
§20.3 鬆弛函數
§20.4 圖像恢復與rudin-osher-fatemi模型
參考文獻
索引

好的，這是一份關於一本名為《圖論與網絡分析基礎》的圖書的詳細簡介，該書內容與《變分學講義》無關： --- 圖論與網絡分析基礎 作者： [此處留空，可自行填寫] 齣版社： [此處留空，可自行填寫] 頁數： 約 650 頁 裝幀： 精裝/平裝（根據實際情況選擇） 定價： [此處留空，可自行填寫] 內容簡介 《圖論與網絡分析基礎》是一部全麵、深入且兼具理論深度與實踐應用價值的著作，旨在為讀者構建一個堅實的圖論基礎，並引導他們掌握現代網絡科學的核心分析工具。本書的編寫立足於當代信息科學、復雜係統、運籌學及數據科學對網絡結構建模的迫切需求，內容組織遵循從基礎概念到高級模型，再到實際案例分析的邏輯遞進路綫。全書不僅是對經典圖論體係的梳理與重構，更是對如何利用數學工具理解現實世界復雜連接現象的係統性指導。 第一部分：圖論的數學基礎與形式化描述 本書開篇即緻力於奠定紮實的數學基礎。詳細闡述瞭圖（Graph）的嚴格定義，包括有嚮圖、無嚮圖、加權圖以及多重圖的數學錶達。重點講解瞭鄰接矩陣、關聯矩陣等不同錶示方式的優劣及其在計算中的應用。 在基礎結構方麵，本書深入探討瞭圖的子結構，如路徑、圈、割集、連通分量等。特彆闢齣一章專門討論樹（Tree）的特性，包括生成樹、最小生成樹（MST）的經典算法——普裏姆算法（Prim's Algorithm）和剋魯斯卡爾算法（Kruskal's Algorithm）的詳細步驟、復雜度分析及其在網絡設計中的應用。 第二部分：經典路徑與流問題求解 本部分聚焦於圖論中最核心的應用領域之一：尋路與資源分配問題。 最短路徑算法： 迪傑斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）被詳細剖析，並延伸至處理負權邊的貝爾曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）以及適用於所有節點對的最短路徑的弗洛伊德-沃夏爾算法（Floyd-Warshall Algorithm）。算法的正確性證明和時間復雜度分析貫穿始終。 網絡流理論： 引入瞭最大流-最小割定理這一網絡分析的基石。本書係統講解瞭福特-富爾剋森方法（Ford-Fulkerson Method）的原理，以及更高效的 Edmonds-Karp 算法和 Dinic 算法。此外，最小費用最大流問題作為優化決策的代錶，也得到瞭充分的討論。 第三部分：圖的結構特性與連通性分析 本部分深入探討瞭圖的內在結構屬性，這些屬性是衡量網絡穩定性和效率的關鍵指標。 連通性與魯棒性： 詳述瞭 $k$ 連通性、邊連通度與點連通度的概念，並介紹瞭 Menger 定理如何將這些拓撲概念與路徑數量聯係起來。同時，對網絡的魯棒性指標，如故障恢復能力和關鍵節點的識彆（割點與橋），進行瞭量化分析。 圖的匹配理論： 重點講解瞭二分圖中的完美匹配、最大匹配問題。艾倫茲定理（Hall's Marriage Theorem）的證明及其在調度、分配問題中的實際應用是本節的亮點。對於一般圖的匹配問題，則介紹奇跡算法（Tutte's Theorem）的思路。 第四部分：復雜網絡科學導論 麵對現實世界中規模龐大、結構非歐幾裏得的復雜網絡（如互聯網、社交網絡、生物調控網絡），本書引入瞭網絡科學的視角。 經典復雜網絡模型： 詳細介紹瞭隨機圖模型（Erdős–Rényi 模型）的特性，並著重分析瞭現實網絡中更常見的無標度（Scale-Free）特性。BA（Barabási-Albert）模型作為生成無標度網絡的裏程碑模型，其“優先連接”機製被深入剖析。此外，小世界網絡（Small-World Network）的概念及其特徵（高聚類係數與短平均路徑長度）也被作為重要內容介紹。 重要中心性度量： 區彆並詳細闡述瞭多種衡量節點重要性的指標：度中心性（Degree Centrality）、介數中心性（Betweenness Centrality）、接近中心性（Closeness Centrality）和特徵嚮量中心性（Eigenvector Centrality）。這些指標在信息傳播、影響力評估中的應用被豐富的案例所支撐。 網絡演化與動態： 討論瞭網絡隨時間變化的模式，包括鏈接預測的基本方法（如 Jaccard 係數、資源分配模型）和社區結構發現（Community Detection）的基本思想，如模塊度（Modularity）的定義與優化。 第五部分：高級主題與前沿探索 最後一部分將讀者的視野拓寬至圖論和網絡分析的前沿研究領域。 平麵圖與嵌入： 對平麵圖的定義、歐拉公式及其在地理信息係統中的應用進行瞭介紹。討論瞭圖的著色問題（Graph Coloring），特彆是四色定理的背景與意義。 圖上的優化與啓發式算法： 針對 NP 難問題，如旅行商問題（TSP），除瞭迴顧精確算法外，還引入瞭近似算法和啓發式方法，例如遺傳算法和模擬退火在圖結構優化問題中的應用框架。 譜圖理論簡介： 引入瞭拉普拉斯矩陣（Laplacian Matrix）及其特徵值的概念，闡述瞭譜聚類（Spectral Clustering）的基本原理，揭示瞭矩陣代數在揭示網絡全局結構方麵的強大能力。 本書特色 1. 理論與實踐的緊密結閤： 每章均配有豐富的、源自真實世界場景的案例研究，幫助讀者理解抽象概念的實際意義。 2. 算法的精確描述： 所有核心算法均提供清晰的僞代碼或步驟分解，並附有嚴格的復雜度分析，便於讀者自行編程實現。 3. 麵嚮廣泛讀者群： 盡管內容深入，但本書假設讀者具備一定的綫性代數和微積分基礎，並能熟練運用離散數學的基本工具，是研究生、高年級本科生、研究人員及工程師的理想參考書。 4. 習題與延伸思考： 書末包含大量難度分級的練習題，鼓勵讀者鞏固知識並進行獨立探索。 《圖論與網絡分析基礎》不僅是一本教材，更是一本深入探索連接世界本質的工具書，它將為所有緻力於理解和設計復雜係統的讀者提供無可替代的理論武裝和方法論指導。

評分☆☆☆☆☆

作為一名初涉數學研究的學生，我一直在尋找能夠打下堅實基礎的教材。《變分學講義》這個名字，在我看來，就預示著它是一本能夠係統性地介紹變分學這一重要數學分支的讀物。我瞭解到，變分學在現代數學和物理學的許多前沿領域都有著廣泛的應用，比如量子場論、廣義相對論、最優控製等等。這意味著，掌握瞭變分學的知識，就等於打開瞭通往更廣闊的數學世界的大門。 我特彆希望書中能夠包含一些曆史背景的介紹，讓讀者瞭解變分學是如何一步步發展起來的，那些偉大的數學傢是如何在探索中貢獻智慧的。同時，我也期待書中能夠提供一些典型的應用案例，通過具體的例子來展示變分學解決實際問題的能力。比如，如何用變分法來描述自然界中最穩定的狀態，或者如何設計齣最優化的係統。我相信，一本好的教材不僅要傳授知識，更要激發讀者的學習興趣和探索欲望，《變分學講義》在我心中已經具備瞭這樣的潛力。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學的嚴謹性和普適性充滿敬畏的讀者，我對《變分學講義》這本書充滿瞭好奇。在我看來，變分學不僅僅是一門數學學科，更像是一種思考問題的方式，一種探究“最優”狀態的哲學。它提供瞭一種強大的框架，去理解和描述自然界中的普遍規律，以及工程、經濟等領域中的優化問題。 我期待這本書能夠清晰地闡述變分學的核心思想，即如何從無窮多的可能選項中，找到那個能夠使某個特定量（泛函）達到最小或最大的函數或麯綫。這涉及到對“變化”的理解，以及如何通過數學工具來“衡量”和“選擇”這些變化。我希望書中能夠展示一些經典的變分問題，比如最速降綫問題、測地綫問題等，並通過詳細的推導過程，讓讀者領略變分法的魅力。 我相信，《變分學講義》會是一本既有理論深度，又有實際應用價值的書籍，能夠幫助我更好地理解那些深刻的數學原理，並啓發我在其他領域進行創新性思考。

評分☆☆☆☆☆

我是一名數學愛好者，一直對那些能夠深刻揭示事物本質的理論特彆著迷。最近聽說《變分學講義》這本書，雖然我還沒來得及細讀，但光看書名就讓我充滿瞭期待。變分學，這個詞本身就帶著一種嚴謹而又充滿創造力的魅力，它似乎能夠引導我們從更宏觀、更本質的角度去理解世界。想象一下，在物理學中，它能幫助我們理解最小作用量原理，從而推導齣各種物理定律，就像自然界本身就是一本遵循變分原理的書籍；在工程學中，它或許能幫助我們優化設計，找到最經濟、最有效率的解決方案，讓我們的創造物達到最佳性能。 我尤其對書中可能涉及到的那些“極值”問題感到好奇。比如，在給定的約束條件下，如何找到能夠使某個函數達到最大值或最小值的麯綫或麯麵？這聽起來就像在解決一個復雜的謎題，需要巧妙的數學工具和深刻的洞察力。我猜想，《變分學講義》應該會帶領讀者一步步走進這個神奇的領域，從基礎的概念入手，逐步深入到那些更抽象、更精妙的理論。我期待它能夠用清晰的語言和豐富的例子，幫助我理解那些看似深奧的數學概念，並啓發我將這些知識應用到其他領域。

評分☆☆☆☆☆

我對那些能夠解釋世界基本運行機製的數學理論總是充滿興趣。《變分學講義》這本書，在我看來，就屬於這一類。變分學，這個名字本身就帶著一種探索“最佳”和“最少”的意味，它仿佛是數學世界中的一種“優化算法”，用以揭示事物最本質、最有效率的存在方式。 我特彆好奇書中會如何介紹“泛函”這個概念。我知道泛函是比函數更高級的存在，它將函數作為輸入，輸齣一個數值。而變分學的任務，就是去尋找那個能讓這個數值達到極值的函數。這其中涉及到的數學工具和思想，一定會非常精妙。我希望《變分學講義》能夠用清晰的語言，配閤恰當的例子，將這些抽象的概念具象化，讓我能夠更好地理解。 我設想，書中可能會從一些直觀的問題入手，比如在給定周長的情況下，哪種形狀的圖形麵積最大？然後逐步引導讀者進入更復雜的變分問題，並介紹解決這些問題的方法，比如變分法的基本引理、歐拉-拉格朗日方程等等。這本書對我來說，不隻是學習一門數學分支，更是一種學習如何用數學的語言去理解和描述“最優”的過程。

評分☆☆☆☆☆

最近，我迷上瞭那些能夠觸及事物本質的數學理論。聽說《變分學講義》這本書，雖然我還沒來得及翻閱，但光是聽名字就覺得充滿瞭吸引力。變分學，在我腦海中勾勒齣一幅圖像：它不是簡單地處理固定值，而是去尋找“最佳”的函數或麯綫，去探究那些能夠使某種“作用”達到極值的可能性。這聽起來就好像是在追尋大自然的奧秘，那些看似偶然的現象背後，可能隱藏著一條最經濟、最穩定的路徑。 我尤其期待書中能夠深入探討那些“泛函”的概念。我知道泛函是作用於函數上的函數，這個概念本身就帶著一種高層次的抽象。如何理解和操作泛函，又是如何從中找到極值，這其中的數學技巧一定非常精妙。我希望《變分學講義》能夠循序漸進地引導讀者，從基本的泛函入手，逐步掌握求解極值的各種方法，比如歐拉-拉格朗日方程。想象一下，通過這些工具，我們能夠解答諸如“在給定兩點之間，哪條麯綫能使得旅行時間最短？”這樣的問題。

評分☆☆☆☆☆

的最後區域作為太陽係邊界。測量這一邊界在哪裏，正是“旅行者1號”的使命。在經過反復測量和模型推演後，NASA於2013年9月宣布“旅行者1號”探測到太陽風粒子濃度急劇下降，探測器進入瞭星際空間。

評分☆☆☆☆☆

現代社會，生活是一場緊張、疲憊又絢麗多彩的舞颱劇，充滿瞭不確定性。

評分☆☆☆☆☆

經典著作，偏微分相關領域必讀數目。

評分☆☆☆☆☆

一本經典著作，值得好好學習

評分☆☆☆☆☆

很多人並不知道，國內有一所大學曆史非常悠久，已經有綿延不絕近韆年，因此還被官方評為中國最古老的高等學府。而且，這個高校還是國傢首批985和211工程大學，在2017年底也入選瞭國傢“雙一流”高校名單。

評分☆☆☆☆☆

這是一本非常經典的數學書籍，對於數學專業的學生非常有好處，值得推薦！

評分☆☆☆☆☆

超級好看的書 非常簡單明瞭 贊一個

評分☆☆☆☆☆

此書將數論中的精華（elements）娓娓道齣，對概念的曆史來源和解釋都十分清晰。每一小節都附有3,4道容易解決的習題，幫助理解復習。我完全沒學過數論，一個星期也讀瞭60頁，欲罷不能。總而言之，這是一本很好的入門書，推薦。該書的作者是證明瞭三素數定理的Vinogradov,他基本解決瞭奇數Goldbach猜想。書的特點是短小，習題難。看這本書必須好好做題。很多習題源自一些研究論文，並且被IMO或CMO命題人員經常改編。這本書值得精讀。作者如果再加一點他擅長的三角和估計這方麵的內容介紹就更好瞭。送貨速度快，包裝也很好。其實我不是學數學的。也不打算以數學為職業，當然更沒有民科們的野心，隻是有一些對於數學的愛好而已。 數論，抽象代數，概率論，數理統計，應該來說是我在數學裏麵最為喜歡的東西。 我覺得這本書還是沒有讓我們落入到具體的細節當中去。我覺得這是最重要，也是最為關鍵的地方。有一個朦朦朧朧的想法，那就是如果在踏入一門學科之初就深入到細節當中去的話，很難對於這門學科未來的走嚮有一個很好的把握，也很難談得上對於這門學科的透徹的理解。我認為這本書是最好的初等數論教材 沒有之一，現在又齣第三版瞭，我馬上入手瞭。證明詳細，習題豐富，對後續學習抽象代數，高等代數也有很大的幫助。在學習瞭一定的分析課程之後，然後上手解析數論就不會很吃力。事實上潘氏兄弟後續的還有代數數論，解析數論基礎，素數定理的初等證明，階的估計，模形式講義等數論的一條龍基礎教材，隻需要從本書開始逐一學完這一係列教材，就能打下很好的數論基礎瞭。

評分☆☆☆☆☆

經典著作，偏微分相關領域必讀數目。