目 錄

第1章 預備知識 1

1.1 復數與復變函數 1

1.1.1 復數的基本概念 1

1.1.2 復數的四則運算 1

1.1.3 復平麵、復數的模與輻角 3

1.1.4 復數的三角錶示 3

1.1.5 平麵麯綫的實變量復值函數錶示 4

1.1.6 復變函數的概念 5

1.1.7 復變函數的極限與連續性 5

1.2 解析函數 6

1.2.1 復變函數的導數 6

1.2.2 解析函數的概念與求導法則 7

1.2.3 解析函數的一個充分必要條件 8

1.3 復變函數的積分 9

1.3.1 復積分的定義與計算 9

1.3.2 復積分的基本性質 11

1.3.3 柯西積分定理 11

1.3.4 柯西積分公式 13

本章小結 14

習題1 15

第2章 解析函數的級數錶示 17

2.1 復數項級數 17

2.1.1 復數序列的極限 17

2.1.2 復數項級數 17

2.2 復變函數項級數 19

2.2.1 復變函數項級數 19

2.2.2 冪級數 20

2.3 泰勒級數 23

2.4 洛朗級數 26

本章小結 31

習題2 31

第3章 留數及其應用 33

3.1 孤立奇點 33

3.1.1 孤立奇點的分類 33

3.1.2 函數的零點與極點的關係 36

3.2 留數 38

3.2.1 留數的概念及留數定理 38

3.2.2 函數在極點的留數 41

3.3 留數在定積分計算中的應用 43

3.3.1 形如的積分 43

本章小結 45

習題3 46

第4章 傅裏葉變換 47

4.1 傅裏葉變換的概念 47

4.1.1 傅裏葉級數 47

4.1.2 傅氏積分與傅氏變換 50

4.2 單位衝激函數(-函數) 54

4.2.1 單位衝激函數的概念及其性質 54

4.2.2 -函數的傅氏變換 56

4.3 傅裏葉變換的性質 57

4.3.1 基本性質 57

4.3.2 捲積與捲積定理 61

4.4 綜閤舉例 62

本章小結 66

習題4 66

第5章 拉普拉斯變換 68

5.1 拉普拉斯變換的概念 68

5.1.1 拉普拉斯變換的定義 68

5.1.2 拉氏變換與傅氏變換的關係 70

5.2 拉普拉斯變換的性質 71

5.2.1 綫性性質與尺度變換 71

5.2.2 平移性質 72

5.2.3 微分性質 73

5.2.4 積分性質 75

5.2.5 捲積與捲積定理 76

5.3 拉普拉斯變換的應用 78

5.3.1 留數方法計算拉氏逆變換 78

5.3.2 求解常微分方程（組） 79

5.3.3 求解積分方程 83

5.3.4 求偏微分方程 84

5.3.5 使用MATLAB求解拉氏變換 84

本章小結 85

習題5 86

附錄1 傅氏變換簡錶 88

附錄2 拉氏變換簡錶 91

部分習題參考答案 96

習題1 96

習題2 96

習題3 97

習題4 98

習題5 99

名詞索引 101

參考文獻 102